Geht in der nichtabelschen Eichtheorie die gewöhnliche oder kovariante Ableitung in die Aussage der Stromerhaltung ein?

Wir haben beide recht!

Dem Vorschlag von AccidentalFourierTransform in den Kommentaren folgend , liefert Weinbergs „Quantum Theory of Fields, Vol. II“ tatsächlich die relevante Erklärung für die Diskrepanz zwischen der gewöhnlichen Erhaltung des Noether-Stroms in einer Eichtheorie, indem der Satz von Noether auf die globale Version von angewendet wird gemessene Symmetrie und die von Srednicki behauptete kovariante Erhaltung.

1. Gewöhnliche Erhaltung des vollen Noether-Stroms: Der Noether-Satz, zum Nennwert genommen, enthält keine eichkovarianten Ableitungen. Der Noetherstrom

   $$J^\mu = \frac{\delta \mathcal{L}}{\delta(\partial_\mu \phi_i)}\delta \phi_i\tag{1}$$ für eine globale Symmetrie$\phi_i\mapsto \phi_i + \epsilon \delta \phi_i$einer Lagrange-Dichte$\mathcal{L}$wird im gewöhnlichen Sinne konserviert$\partial_\mu J^\mu \approx 0$. Hier das$\phi_i$umfassen sowohl das Eich- als auch das Materiefeld.

2. Kovariante Erhaltung des Materieteils des Noetherstroms in einer Yang-Mills-Theorie : In einer Yang-Mills-Theorie mit einer Lagrange-Funktion der Form

   $$\mathcal{L}_\text{YM}[A,\psi] = - \frac{1}{4} F_{\mu\nu}^a F^{a\mu\nu} + \mathcal{L}_\text{matter}(\psi,D_\mu \psi)\tag{2},$$ Wo$F = \mathrm{d} A + A \wedge A$ist der übliche Feldstärketensor eines nicht-Abelschen Eichfeldes$A$,$\mathcal{L}_\text{matter}$die Funktion, die die Lagrange-Materie entkoppelt von jedem Eichfeld als ergibt$\mathcal{L}(\psi,\partial_\mu \psi)$Und$\psi$ein (oder mehrere) Materiefelder werden unter der Eichgruppe in einer Darstellung verrechnet$\rho$, der gewöhnliche Noether-Strom (1) unter der globalen Version der Eichsymmetrie, die durch die erzeugt wird$T^a$ist expliziter gegeben durch $$J^{\mu a} = - C^{cab}F^{c\mu\nu}A^b_\nu - \underbrace{\frac{\delta \mathcal{L}_\text{matter}}{\delta(D_\mu \psi)}\rho(T^a)\psi}_{=:j^{\mu a}},\tag{3}$$ bei dem die$C$sind die Strukturkonstanten der nicht-Abelschen Eichgruppe. Außerdem ist dieser Strom der an der Bewegungsgleichung beteiligte Strom$\mathrm{d}{\star}F = {\star}J$. Man kann jedoch die Bewegungsgleichung in Form der kovarianten Ableitung der Feldstärke schreiben: $$D^{ab}_{\mu} F^{b\mu\nu} = - j^{\nu a}\tag{4}$$ Kontrahieren dieser Gleichung mit$D_\nu$Erträge: $$- D^{ca}_\mu j^{\nu a} = D^{ca}_\nu D^{ab}_\mu F^{b\mu\nu} = [D^{ca}_\nu ,D^{ab}_\mu] F^{b\mu\nu} = 0\tag{5},$$ wo die letzte Gleichheit folgt weil$[D,D]$ist nur$F$Handeln in der richtigen Darstellung auf dem, was dahinter steckt. Seit$F$ist Lie-Algebra bewertet, ist es in der adjungierten Darstellung, so erhalten wir$\rho_\text{ad}(F) F = [F,F] = 0$. Dies ist das gesuchte "kovariante Erhaltungsgesetz". Ich komme daher zu dem Schluss, dass Srednickis Formeln korrekt sind, aber der Teil, in dem er behauptet, dass dies aus Noethers Theorem folgt, hätte vielleicht etwas ausführlicher sein können.

Weinberg weist auch hilfreich darauf hin, dass, obwohl dies nicht direkt auf die allgemeine Relativitätstheorie zutrifft, da es sich nicht um eine Yang-Mills-Theorie handelt, die beiden Strömungen$J,j$werden direkt durch den kovariant erhaltenen Energie-Impuls-Tensor widergespiegelt$T_{\mu\nu}$und der normalerweise konservierte Pseudotensor, der durch Hinzufügen dessen erhalten wird, was Weinberg das nichtlineare Stück von nennt$R^{\mu\nu} - \frac{1}{2}g^{\mu\nu})$Zu$T_{\mu\nu}$und was ich denke, wird normalerweise Landau-Lifschitz-Pseudotensor genannt . Dass das normalerweise konservierte Objekt nur ein Pseudo-Tensor ist, ist genau das Analogon von$J^{\mu a}$nicht in eine richtige lineare Darstellung transformieren, sondern wie ein Eichfeld (aufgrund des Erscheinens von$A$in seinem Ausdruck).