Können Quanteneffekte den Satz von Noether vermeiden?

Angenommen, wir haben einen klassischen Lagrangeoperator mit einer stetigen Gruppe von Symmetrien, auf die wir den Satz von Noether anwenden können. Es gibt mehrere Möglichkeiten, wie die entsprechende Quantenfeldtheorie den Satz von Noether „umgehen“ kann:

1. Es ist Quantum : Das sollte etwas offensichtlich sein, aber Noethers Theorem ist eine Aussage über die klassische Mechanik und "Bewegungskonstanten" entlang klassischer Trajektorien. Die Quantentheorie hat keine solchen Trajektorien - das Pfadintegral integriert über alle Pfade, unabhängig davon, ob sie das eom lösen, es ist nur so, dass die klassischen Pfade in der Annäherung am steilsten Abstieg am meisten beitragen - und daher ist Noethers Theorem einfach keine Aussage über die Quantentheorie.

   Man würde argumentieren, dass eine klassisch konservierte Ladung auch in der Quantentheorie konserviert ist, indem Sie argumentieren, dass die Noether-Ladung Poisson-kommutiert mit dem Hamilton-Operator im Hamilton-Formalismus und daher mit dem Quanten-Hamilton-Operator nach kanonischer Quantisierung. Die kanonische Quantisierung (das Ersetzen von Poisson-Klammern durch Kommutatoren) ist jedoch lediglich eine sehr mächtige Heuristik und an sich keine klar definierte Karte zwischen klassischer und Quantenphysik. Insbesondere kann Folgendes passieren:

2. Quantenanomalien: Eine Symmetrie, die eine klassische Symmetrie der Lagrange-Funktion ist, muss keine Symmetrie der Quantentheorie sein, in dem Sinne, dass die Invarianz der Lagrange-Funktion keine Invarianz des Pfadintegrals oder der quantenwirksamen Wirkung impliziert. Ein Standardbeispiel ist die chirale Anomalie der elektroschwachen Theorie, was tatsächlich bedeutet, dass der klassisch konservierte Noetherstrom in der Quantentheorie nicht konserviert ist. Eine allgemeinere Diskussion von Anomalien finden Sie in dieser Antwort . Anomalien globaler Symmetrien sind interessante, aber nicht bedrohliche Phänomene, Anomalien von Eichsymmetrien sind ein Hindernis für eine gut definierte Quantentheorie, und die Forderung, dass die totale Anomalie einer Eichsymmetrie verschwinden muss, ist eine starke Einschränkung beim Modellbau.

3. Kontaktbedingungen: Wie oben gesagt, gilt das Noethersche Theorem als solches nicht für Quantentheorien. Die Quantenversion davon wird als Ward-Takahashi-Identität bezeichnet , die im Wesentlichen besagt, dass der Erwartungswert des Noetherstroms erhalten bleibt, aber nur bis zu „Kontakttermen“ im Allgemeinen. Das heißt, wo Sie das haben würden$(\partial_\mu j^\mu) \text{stuff} = 0$klassisch findet man das

   $$\langle \partial_\mu j^\mu(x) \prod_i \phi_i(x_i)\rangle = -\mathrm{i}\sum_{j=1}^n\langle \phi_1(x_1)\dots \delta\phi_j(x_j)\dots\phi_n(x_n)\rangle,$$ Wo$\delta\phi_i$ist die klassische infinitesimale Änderung des Feldes$\phi_i$unter der betreffenden Symmetrie. Beachten Sie, dass sich dies auf reduziert$\langle \partial_\mu j^\mu\rangle = 0$im Falle$n=0$.

Es ist wichtig, zwischen lokalen und globalen Symmetrien zu unterscheiden. "Noethers Theorem" bezieht sich normalerweise auf ihren Satz, dass jede kontinuierliche globale Symmetrie einem konservierten Strom entspricht. Der Beweis des Theorems erfordert jedoch die Verwendung der klassischen Bewegungsgleichungen, sodass er im Quantenfall nicht gilt. (Genauer gesagt gibt es Feldkonfigurationen, in denen die Ladung nicht erhalten bleibt, die zum Pfadintegral beitragen.) Außerdem können, wie Aaron betont, Quantenanomalien die klassische Symmetrie brechen und zu einer Nichterhaltung des erhaltenen Stroms führen (z Vakuum-Maxwell-Gleichungen weisen eine konforme Symmetrie auf, die in der QED anomal ist und daher nicht gilt).

Aber lokale (oder "Eichmaß") Symmetrien sind eine ganz andere Geschichte. Diese Symmetrien gelten auch ohne die Annahme der klassischen Bewegungsgleichungen (dh sowohl "on-shell" als auch "off-shell"). Alle Feldkonfigurationen, die zum Pfadintegral beitragen, respektieren diese Symmetrien. Eichsymmetrien (wie die$\text{U}(1)$das von Ihnen erwähnte Beispiel) entsprechen ebenfalls Erhaltungsgrößen, die aber immer erhalten bleiben, auch unter Berücksichtigung von Quantenfluktuationen. (Eichsymmetrien können auch anomal sein, aber anstatt nur zu einer Verletzung der Erhaltung der Erhaltungsgröße zu führen, hindern anomale Eichsymmetrien Sie daran, Ihre Theorie von vornherein konsistent zu quantifizieren, sodass sie die gesamte Theorie "brechen".)