Der entscheidende Punkt ist die Antikommutierung vonϵ
mit Fermionenfeldern (, _ψ¯,c¯a,ca
).
Zuerst werden wir umschreibenL
als (der Einfachheit halber definieren wirBa≡ξ− 1∂μEINaμ
)
L =−14(Faμ ν)2+ψ¯( ichγμDμ− m ) ψ −ξ2BaBa−∂μc¯aDein bμcb(1)
was vom Original abweichtL
durch eine totale Ableitung,
∂μ(c¯aDein bμcb)(2)
AlsoδL
nicht mehr gleich0
, aber
δL =−δ∂μ(c¯aDein bμcb) =∂μ( − δc¯aDein bμcb) =∂μ( − ϵBaDein bμcb) ≡∂μKμ(3)
Wir werden gelegentlich die Jacobi-Identität verwenden,
fa b dfdc e+fb c dfdein e+fc ein dfdsei e= 0(4)
Wir werden in den folgenden Berechnungen die richtige Ableitung verwenden. Der Noetherstrom ist also definiert als
ϵjμ≡∂L∂(∂μψ )δψ +∂L∂(∂μψ¯)δψ¯+∂L∂(∂μca)δca+∂L∂(∂μc¯a)δc¯a+∂L∂(∂μEINav)δEINav−Kμ(5)
Jetzt berechnen wir die einzelnen Teile des Stroms, bewegendϵ
links von jedem Ausdruck. Wir erhalten ein zusätzliches Minuszeichen, wennϵ
passiert ein Fermionenfeld,
∂L∂(∂μψ )δψ∂L∂(∂μψ¯)δψ¯∂L∂(∂μca)δca∂L∂(∂μc¯a)δc¯a∂L∂(∂μEINav)δEINav= (ψ¯ichγμ) ( z _ϵcataψ ) = ϵgψ¯γμcataψ= 0= ( -∂μc¯a) ( -12gϵfa b ccbcc) =−12ϵgfa b c(∂μc¯a)cbcc= (gμ νDein bvcb) ( ϵBa) = − ϵ (gμ νDein bvcb)Ba=Kμ= ( -Fein μ v−gμ νBa) ( ϵDein bvcb) = ϵ ( −Fein μ v−gμ νBa) (Dein bvcb)(6)
Einfügen von Ergebnissen aus( 6 )
und( 3 )
hinein( 5 )
gibt
jμ= ( -Fein μ v−gμ νBa)Dein bvcb−12gfa b c(∂μc¯a)cbcc+ gψ¯γμcataψ(7)
Es ist einfach, die Bewegungsgleichungen abzuleiten,
0 =∂L∂EINav−∂μ∂L∂(∂μEINav)0 =∂L∂ψ¯−∂μ∂L∂(∂μψ¯)0 =∂L∂ψ−∂μ∂L∂(∂μψ )0 =∂L∂ca−∂μ∂L∂(∂μca)0 =∂L∂c¯a−∂μ∂L∂(∂μc¯a)=Dein bμFb μ v+∂vBa+ gψ¯γvtaψ + gfa b c(∂vc¯b)cc= − ichγμ∂μψ − gEINaμγμtaψ + m ψ= − ich∂μψ¯γμ+ gEINaμψ¯γμta− mψ¯=Dein bμ∂μc¯b= −∂μDein bμcb(8a-e)
Jetzt werden wir die Validierung von überprüfen∂μjμ= 0
,
∂μ[ gψ¯γμcataψ ]∂μ[ -12gfa b c(∂μc¯a)cbcc]∂μ[ (-Fein μ v−Bagμ ν)Dein bvcb]=( 8b , 8c ) _ _− [ gψ¯γvtaψ ]Dein dμcd=( 4. , 8. T)− [ gfa b c(∂vc¯b)cc]Dein dμcd=( 8e ) _− (∂μFein μ v+∂vBa)Dein dvcd−Fein μ v∂μDein dvcd= − (Dein bμFb μ v+∂vBa)Dein dvcd− ( gfa b cEINcμFb μ v)Dein dvcd−Fein μ v∂μDein dvcd=( 4 )− (Dein bμFb μ v+∂vBa)Dein dvcd(9a-c)
Wir werden .. bekommen
∂μjμ=( 9 a + 9 b + 9 c , 8 a )− (∂L∂EINav−∂μ∂L∂(∂μEINav))Dein dvcd(10)
Dies ist in der Tat die Off-Shell-Noether-Identität und ist Null, wenn die Bewegungsgleichungen erfüllt sind.
Lubos Motl
PPR