Was ist die Symmetrie, die der Positionserhaltung entspricht?

Die Natur hat diese Symmetrie nicht, weil Ihr Erhaltungssatz auch nicht gilt. Nach dem Trägheitsgesetz bewegt sich ein Objekt mit einer konstanten Geschwindigkeit weiter – die jedoch allgemein ungleich Null ist. In seinem eigenen Ruheframe ist es null, aber in anderen Frames ist die Geschwindigkeit ungleich null.

Wenn man die Bewegung des Schwerpunkts untersucht, bewegt er sich tatsächlich mit konstanter Geschwindigkeit. Die konservierte Größe, die Ihrer "konservierten Position" am nächsten liegt, ist also die konservierte Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts. Dieser Erhaltungssatz ist über den Satz von Noether direkt mit der Lorentz-Symmetrie der physikalischen Gesetze verbunden – oder, im nicht-relativistischen Grenzfall, mit der Galilei-Symmetrie. Im nicht-relativistischen Fall ist der Generator der Galileischen Symmetrie$\vec x_{\rm cm}$, die Lage des Massenmittelpunkts, tatsächlich: Der Erzeuger der Symmetrie ist die Erhaltungsgröße selbst.

Wenn Sie langweilige Gesetze entwerfen, in denen die Position erhalten bleiben muss, würde die Symmetrie durch die Erhaltungsgröße erzeugt$\vec x$. Dieser Symmetriegenerator erzeugt Translationen im Impulsraum. Die Gesetze der Physik (der Hamilton-Operator) müssten also effektiv unabhängig vom Impuls sein. Das wäre ziemlich schlecht: Sie könnten unter anderem den kinetischen Energieterm nicht in die Gesamtenergie einbeziehen. Das hängt damit zusammen, dass die Teilchen eine "unendliche Trägheitsmasse" hätten, die sie dazu zwingen würde, an einem einzigen Punkt zu sitzen. Der ganze Begriff "Dynamik" wäre eine Art Oxymoron, weil sich die Dinge nicht mit der Zeit ändern würden.

Anhang

Betrachten Sie den Generator gleich der Position des Massenmittelpunkts

$$\vec x_{\rm cm} = \frac{m_1 \vec x_1 + m_2 \vec x_2 +\dots +m_N \vec x_N}{m_1+m_2+\dots +m_N}$$ Wie transformieren sich physikalische Observable unter der von ihr erzeugten Symmetrie? Berechnen Sie die Kommutatoren. Die Kommutatoren der Position oben mit Positionen $x_i$verschwinden, also Positionen (at $t=0$) nicht transformieren. Allerdings ist der Kommutator mit $p_i$ist gleich $m_i \delta_{mn} / M_{\rm total}$, und wenn dies hinzugefügt wird $p_i$mit einem infinitesimalen Koeffizienten $\vec \epsilon \cdot M_{\rm total}$, sehen Sie, dass alle Geschwindigkeiten um geändert werden $$\vec v_i \to \vec v_i + \vec \epsilon$$ Aber wenn alle Geschwindigkeiten nur um eine Konstante verschoben werden, ist das die Galileische Transformation. Lassen Sie mich betonen, dass diese einfache Transformationsregel nur bei gilt $t=0$. Für $t\neq 0$, müsste man zusätzliche Terme proportional zu hinzufügen $t$zum Generator (sie wären auch bei einer Lorentz-Symmetrie ähnlich), nämlich $t\cdot \vec P_{\rm total}$. Jedenfalls ist die Schwerpunktlage der Erzeuger der Galilei-Transformationen, wobei die Transformationen von einem Inertialsystem zu einem nahegelegenen Inertialsystem (das sich mit einer um unterschiedlichen Geschwindigkeit bewegt) übergehen $\delta \vec v$).

Beachten Sie, dass der Kommutator von$\vec x_{\rm cm}$mit dem Hamilton-Operator ist nicht ganz null, also ist es nach einigen Definitionen keine Symmetrie. Stattdessen ist der Kommutator proportional zum Gesamtimpuls$\vec p$was selbst eine Symmetrie ist. Die Kommutatoren verschiedener Generatoren ergeben also andere Generatoren – die Standardform einer Lie-Algebra (in diesem Fall Galilean/Lorentz), in der der Hamiltonoperator nicht unbedingt mit allen anderen kommutiert, sondern einer der Generatoren einer nicht-Abelschen Gruppe ist.

1) OP schrieb:

Was ist die Symmetrie, die der Positionserhaltung entspricht?

Für ein Hamiltonsches System kann man die Rolle von Positionen formal vertauschen$q^i$und Momente$p_i$über eine kanonische Transformation

$$Q^i ~=~ p_i , \qquad P_j~=~ - q^j .$$

Daher liegt es in Hamilton-Systemen an Ihnen, was Sie Positionen und was Sie Impulse nennen.

Nun gehe ich davon aus, dass OP mit der Aussage vertraut ist , dass Translationssymmetrie im Ortsraum$q^i\to q^i+a^i$führt zur Impulserhaltung (auf klassischem Niveau).

Von$q\leftrightarrow p$Symmetrie, kann man dann argumentieren, dass Translationssymmetrie im Impulsraum$p_i\to p_i+a_i$führt zur Positionserhaltung (auf klassischem Niveau).

2) OP schrieb weiter:

Wenn sich nun die Teilchenposition nicht ändert, dann ist die Position des Teilchens eine Erhaltungsgröße. Welche Symmetrie entspricht in diesem Fall der Positionserhaltung?

Zu unterscheiden ist zwischen einer Symmetrie der Wirkung und einer spontanen Symmetrie, dh einer Symmetrie des Zustands , in dem sich das System befindet. Der Satz von Noether gilt nur für die erstere Situation. Zum Beispiel ein freies Teilchen$H=\frac{{\bf p}^2}{2m}$könnte versehentlich in Ruhe sein (bezüglich eines Bezugsrahmens), obwohl damit keine Translationssymmetrie im Impulsraum verbunden ist.