Euklidischer QFT-Kommutator verschwindet für alle Raumzeittrennungen?

Ich bezweifle, dass Ihre Argumentation ohne Vorbehalte durchgeht. Es stimmt, wenn man die Minkowski-Raumzeit- Zwei-Punkt-Funktion analytisch zur imaginären Zeit fortsetzt, erhält man eine Funktion (die Zwei-Punkt-Schwinger-Funktion$S(x,y)$), die in den beiden euklidischen Raumzeitpunkten symmetrisch ist und in Bezug auf euklidische Isometrien kovariant ist. Also, wenn Sie definieren

Mir ist jedoch nicht klar, dass die linke Seite der obigen Definition als Kommutator zweier wohldefinierter Operatoren (oder Operatorwertverteilungen) interpretiert werden kann. Lassen Sie zum Beispiel$\phi$ein freies Skalarfeld sein, das anfänglich in der Minkowski-Raumzeit durch seine Modenerweiterung definiert ist

Wenn wir dies formell fortsetzen$t=-i\tau$, sehen wir, dass die Moden positiver (negativer) Frequenz stark voneinander abweichen$\tau<0$($\tau>0$). (Anmerkung: Dieses abweichende Verhalten der Modi für imaginäre Zeiten stellt auch Ihre Manipulationen der Integraldarstellung des Kommutators in Frage.)

Man kann immer noch Ausdrücke wie verstehen$\langle 0|\phi (-i\tau_2,\mathbf{x}_2)\phi(-i\tau_1,\mathbf{y}_1) |0\rangle$so lange wie$\tau_2>\tau_1$und die Impulsintegrale sind so zu verstehen, dass sie nur am Ende genommen werden. Mit diesem Formalismus kann man diesen Ausdruck mit einem Pfadintegral in der euklidischen Raumzeit mit zwei "Operatoreinfügungen" gleichsetzen:

Das Pfadintegral kümmert sich automatisch um die Ordnung in imaginärer Zeit und wir können es daher verwenden, um die Bedeutung der linken Seite beliebig zu erweitern$\tau$-Ordnung, die uns die Schwinger-Zweipunktfunktion für dieses Feld liefert, ausgedrückt als Pfadintegral. Dies bedeutet jedoch nicht, dass wir den Feldoperator selbst für imaginäre Zeiten ungleich Null verstanden haben.

Die automatische euklidische Zeitordnung des Pfadintegrals hindert uns daran, es zur Berechnung der allgemeinen Matrixelemente des Feldkommutators für ungleiche euklidische Zeiten zu verwenden. Vielleicht findet man deshalb in Lehrbüchern meist keine Berechnung dieses Kommutators für die euklidische Raumzeit. (Zumindest habe ich in den mir vorliegenden Texten keine gefunden.)

Für 2-dimensionale konforme Feldtheorien findet man Berechnungen von Kommutatoren$[T,\phi(y)]$zwischen dem Feld$\phi$und eine Erhaltungsladung$T$unter Verwendung der Operator-Produkt-Expansion (OPE) in der euklidischen Raumzeit ([1], [2]). Solche Kommutatoren können auch dann ungleich Null sein, wenn der Operator$T$wird aus dem Feld und seinen Derivaten aufgebaut. Ihre Schlussfolgerung, dass der Kommutator$[\phi(x), \phi(y)]$in der euklidischen Raumzeit identisch Null ist, würde auch bedeuten, dass alle Kommutatoren von Größen, die aus den Feldern und ihren Ableitungen aufgebaut sind, in der euklidischen Raumzeit verschwinden, oder?

Schwinger erwähnte am Ende von [3] die formale Möglichkeit, vollständig (anti-)kommutierende Feldoperatoren für die euklidische Raumzeit zu konstruieren. Ich bin mir nicht sicher, was ich davon halten soll.

Eine verwandte Frage zu Feldoperatoren und Zweipunktfunktionen in der euklidischen Raumzeit wurde auf Mathoverflow diskutiert: https://mathoverflow.net/q/237647

[1] K. Becker, M. Becker, JH Schwarz. Stringtheorie und M-Theorie: Eine moderne Einführung. Cambridge University Press, 2007. p. 64f.

[2] J. Polchinski. Stringtheorie. Vol. 1 Eine Einführung in die bosonische Zeichenfolge. Cambridge University Press, 1998. p. 55.

[3] J. Schwinger, 1958. Vierdimensionale euklidische Formulierung der Quantenfeldtheorie. Proceedings, Conference: C58-06-30, S.134-140.

Ja, euklidische Kommutatoren verschwinden.

Dies ist im Pfadintegralformalismus ziemlich offensichtlich: Sie können die Matrixelemente des Kommutators aus den Korrelationsfunktionen berechnen:$\langle \hat{\phi}(x)\hat{\phi}(y) ... \rangle = \int \phi(x)\phi(y) ... e^{-S(\phi)}d\phi$. Das Integral beinhaltet nur das Pendeln von Variablen, sodass Sie wechseln können$x$Und$y$.

Die Verbindung zwischen den euklidischen Korrelationsfunktionen und den Minkowski-Korrelationsfunktionen ist etwas subtil. Die euklidischen Korrelationsfunktionen sind analytische Funktionen mehrerer Variablen$x$,$y$, und kann auf die Komplexifizierung eines kartesischen Produkts mehrerer Kopien des euklidischen Raums erweitert werden. Die entsprechenden kartesischen Produkte des Minkowski-Raums befinden sich ebenfalls in dieser Komplexierung. Die Minkowski-Korrelationsfunktionen sind tatsächlich Grenzwerte der analytischen Erweiterung der euklidischen Korrelationsfunktionen. Aber welche zeitliche Reihenfolge der Minkowski-Korrelationsfunktionen Sie erhalten, hängt davon ab, wie Sie sich der Grenze nähern.