Warum müssen Fermionen in der QFT antikommutieren, um die Kausalität sicherzustellen?

Hier ist die formelle Antwort auf Ihre Frage basierend auf einem bestimmten Ergebnis des Pauli-Theorems. Berechnungen sind ziemlich umständlich, aber sie sind allgemein.

Beliebiges fermionisches Feld (mit Invarianz unter diskreten Transformationen der Lorentz-Gruppe)

Es lässt sich zeigen, dass jedes Poincaré-kovariante Fermionenfeld halbzahligen Spin hat$s = n + \frac{1}{2}$und Masse$m$darstellen kann als

$$\tag 1 \hat{\varphi}_{a} = \sum_{\sigma = -s}^{s}\int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2E_{\mathbf p}}}\left( u_{a}^{\sigma }(\mathbf p)\hat{a}_{\sigma}(\mathbf p)e^{-ipx} + v_{a}^{\sigma } (\mathbf p)\hat{b}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p)e^{ipx}\right),$$ Wo $$\tag 2 \hat{\varphi}_{a} = \hat{\varphi}_{\mu_{0}...\mu_{n}} = \begin{pmatrix}\hat{\psi}_{\mu_{0}...\mu_{n}b} \\ \hat{\kappa}_{\ \mu_{0}...\mu_{n}}^{\dot {b}} \end{pmatrix} \in \left( \frac{n + 1}{2}, \frac{n}{2}\right) \oplus \left( \frac{n}{2}, \frac{n + 1}{2}\right),$$ $b, \dot{b}$sind Spinor-Indizes, und $$\tag 3 \gamma^{\mu_{j}}\hat{\varphi}_{\mu_{0}...\mu_{j}...\mu_{n}} = 0, \quad (i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\hat{\varphi}_{\mu_{0}...\mu_{n}} = 0,$$ $$\tag 4 \quad \partial^{\mu_{j}} \hat{\varphi}_{\ \ \mu_{0}...\mu_{j}...\mu_{n}} = 0, \quad u^{\sigma}_{a}(\mathbf p ) = (-1)^{s + \sigma}\gamma_{5}v^{-\sigma }_{a}(\mathbf p).$$

Wie man sieht, z$n = 0$Gl.$(1)-(4)$Geben Sie das Dirac-Feld an.

Der masselose Fall ist derselbe, aber$\sigma$darf nur folgende Wertesätze annehmen:$\{-s\}$,$\{s\}$, oder$\{-s,s\}$.

Über allgemeine Aspekte irreduzibler Poincaré-Darstellungen, die als Summe von Feldern von Erzeugern und Vernichtern realisiert werden, können Sie in Weinberg QFT Vol. 1 (Kapitel über allgemeine Kausalfelder). Gleichungen$(3)-(4)$kann dieses Feld als Anforderung angegeben werden$(1)$transformiert sich unter irreduzible Darstellungen der Poincaré-Gruppe mit Spin$s$und Masse$m$.

Kausalität für fermionische Theorien und Antikommutator

Vom Kausalitätsprinzip müssen wir haben

$$\tag 5 [\hat{\varphi}_{a}(x), \hat{\bar{\varphi }}_{b}(y)]_{\pm} = 0, \quad (x - y)^{2} < 0 , \quad g_{00} = 1.$$ In $3 + 1$-dimensionale Raumzeit und für nicht unterscheidbare Teilchen ist die erste Homotopiegruppe des Konfigurationsraums mit 3 räumlichen Dimensionen die Permutationsgruppe $S_N$. Das bedeutet, dass der Austausch zweier Teilchen im und gegen den Uhrzeigersinn gleich ist und es daher nur zwei mögliche Statistiken gibt, Bose-Einstein oder Fermi-Dirac, $$\tag 6 [\hat{a}_{\sigma}(\mathbf p ), \hat{a}^{\dagger}_{\sigma {'}}(\mathbf k) ]_{\pm} = \delta (\mathbf p - \mathbf k ) \delta_{\sigma \sigma {'}}.$$

Lassen Sie uns verwenden$(1)-(4)$Und$(6)$zur Klärung der Statistik, die von den Feldern befolgt wird$(1)$.

Wir haben durch Verwendung dieser Gleichungen und der Identität$[\gamma_{\mu} , \gamma_{5}]_{+} = 0$Das

$$\tag 7 [\hat{\varphi}_{a}(x), \hat{\bar{\varphi }}_{b}(y)]_{\pm} = \sum_{\sigma}\int \frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi )^{3}2E_{\mathbf p}}\left( u^{\sigma}_{a}(\mathbf p)\bar{u}^{\sigma}_{b}(\mathbf p) e^{-ipX} \mp \gamma_{5}u^{\sigma}_{a}(\mathbf p)\bar{u}_{b}^{\sigma}(\mathbf p)e^{ipX}\right),$$ Wo $X = x - y$Und $\hat{\bar {\varphi}} = \hat{\varphi}^{\dagger}\gamma_{0}$.

Durch die Verwendung der zweiten Identität von$(3)$und der Anforderung der Lorentz-Kovarianz kann gezeigt werden, dass$\sum_{\sigma}u^{\sigma}_{a}(\mathbf p)\bar{u}_{b}^{\sigma}(\mathbf p) = R_{ab}(p)$kann in einem Formular dargestellt werden

$$R_{ab}(p) = (\gamma^{\mu}p_{\mu} + m)P_{ab}(p),$$ Wo $P_{ab}(p)$wird aus der Summe von Summanden mit gerader Anzahl von Impulsen und gerader Anzahl von Gamma-Matrizen und aus Summanden mit ungerader Anzahl von Impulsen und ungerader Anzahl von Gamma-Matrizen konstruiert. Also durch Nutzung $[\gamma_{\mu} , \gamma_{5}]_{+} = 0$wieder können wir bekommen $$[\hat{\varphi}_{a}(x), \hat{\bar{\varphi }}_{b}(y)]_{\pm} = \int \frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi )^{3}2E_{\mathbf p}}\left( R_{ab}(p) e^{-ipX} \mp R_{ab}(-p)e^{ipX}\right) =$$ $$\tag 8 = R_{ab}\left( i\partial_{x}\right)(D(X) \mp D(-X)), \quad D(X) = \int \frac{d^{3}\mathbf p }{(2 \pi )^{3}2E_{\mathbf p}}e^{-ipX}.$$ Es kann gezeigt werden, dass z $X^{2} < 0$, die Funktion $D(X)$erfüllt die Relation $D(X) = D(-X)$, So $(8)$verschwindet genau dann, wenn fermionische Felder Fermi-Dirac-Statistiken haben.