Warum stellt in der QFT ein verschwindender Kommutator Kausalität sicher?

Erinnern Sie sich, dass pendelnde Observable in der Quantenmechanik gleichzeitig beobachtbar sind. Wenn ich die Observablen A und B habe und sie pendeln, kann ich A und dann B messen, und die Ergebnisse sind die gleichen, als hätte ich B und dann A gemessen (wenn Sie darauf bestehen, genau zu sein, dann meine ich damit in a statistischer Sinn, wo ich Mittelwerte über viele identische Experimente nehme). Wenn sie nicht pendeln, sind die Ergebnisse nicht dieselben: Das Messen von A und dann von B führt zu anderen Ergebnissen als das Messen von B und dann von A. Wenn ich also nur Zugriff auf A habe und mein Freund nur Zugriff auf B hat, durch Messen A mehrmals kann ich feststellen, ob mein Freund B gemessen hat oder nicht.

Entscheidend ist also, dass, wenn A und B nicht pendeln, sie nicht raumartig getrennt sind. Oder um die doppelten Negative zu entfernen, ist es entscheidend, dass A und B pendeln müssen, wenn sie raumartig getrennt sind. Andernfalls kann ich durch Messungen von A feststellen, ob mein Freund B misst oder nicht, obwohl Licht mich nicht von B erreichen konnte. Dann könnte ich mit der Magie einer lorentzschen Raumzeit zu meinem Freund reisen und ankommen, bevor er beobachtete B und hindern Sie ihn daran, die Beobachtung zu machen.

Die Korrelationsfunktion, die Sie aufgeschrieben haben, die ohne Kommutator, ist tatsächlich ungleich Null. Dies stellt die Tatsache dar, dass Werte des Feldes an verschiedenen Punkten im Raum miteinander korreliert sind. Das ist völlig in Ordnung, schließlich gibt es Ereignisse, die beide in ihrem vergangenen Lichtkegel gemeinsam haben, wenn man weit genug zurückgeht. Sie hatten keine völlig unabhängige Geschichte. ABER der Punkt ist, dass diese Korrelationen nicht entstanden sind, weil Sie Messungen durchgeführt haben. Sie können auf diese Korrelationen nicht zugreifen, indem Sie lokale Experimente an einem festen Raumzeitpunkt durchführen, Sie können diese Korrelationen nur sehen, indem Sie Feldwerte am räumlichen Ort x messen und dann Notizen mit Ihrem Freund vergleichen, der Feldwerte am räumlichen Ort y gemessen hat. Sie können sich nur austauschen, wenn Sie Zeit hatten, zu reisen, um einander nahe zu kommen.

Es ist gefährlich, sich vorzustellen, dass Felder Teilchen an Orten in der Raumzeit erzeugen, weil man ein relativistisches Teilchen im Raum nicht mit größerer Genauigkeit als seiner Compton-Wellenlänge lokalisieren kann. Wenn Sie an Felder im Ortsraum denken, ist es besser, sich das, was Sie messen, als Feld vorzustellen und überhaupt nicht an Teilchen.

(Eigentlich sollte ich sagen, dass Sie meiner Meinung nach nicht wirklich erfahren könnten, dass Ihr Freund B bei y gemessen hat, indem Sie nur Messungen bei A durchgeführt haben. Aber der Zustand des Feldes würde sich ändern und die Entwicklung des Feldes wäre akausal. I Ich denke, dies ist ein etwas technischer Punkt, die Hauptidee ist, dass Sie nicht in der Lage sein möchten, das Feld zu beeinflussen, das DORT drüben außerhalb des Lichtkegels verläuft, indem Sie GENAU HIER Messungen durchführen, weil Sie Probleme mit der Kausalität bekommen)

Wenn Sie eine kleine Berechnung sehen möchten, um zu zeigen, warum Mikrokausalität mit dem Verschwinden des Kommutators zusammenhängt, ist hier eine einfache Übung, die man machen kann.

Betrachten Sie einen Operator$A(\vec{x},t)$von denen ich den Vakuumerwartungswert in einem bestimmten Zustand messen möchte$\psi$

$$\mathcal{E}_A(\vec{x},t) := \langle \psi|A(\vec{x},t)|\psi\rangle\,.$$ Geben Sie nun dem Hamiltonian zu einem bestimmten Zeitpunkt einen "Kick".$t_0$(angenommen$t_0 = 0$). Damit meine ich, dass wir den Hamiltonoperator durch einen Operator stören, der nur für ungleich Null ist$t > 0$. Nämlich $$H = H_0 + \theta(t)\, V(t)\,.$$ Wie hoch ist der Erwartungswert von$A$Veränderung nach dieser Störung? Es scheint, dass der bequemste Ansatz das Interaktionsbild wäre , also machen wir das. Ohne auf die Details einzugehen, definieren wir den Zustand$|\psi\rangle$und die Betreiber$\mathcal{O}$als Zeitentwicklungsoperator$\exp(i H_0 t)$auf das Schrödinger-Bild aufgetragen $$\psi_{\mathrm{int}}(t) = e^{i H_0 t} \psi_{\mathrm{S}}(t)\,,\qquad H_{\mathrm{int}}(t) = e^{i H_0 t}H e^{-i H_0 t}\,.$$ Der Zeitentwicklungsoperator$U(t,t_0)$befriedigen muss $$i \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \psi_{\mathrm{int}}(t) := i \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} U(t,t_0) \psi_{\mathrm{int}}(t_0) = \theta(t) V(t)\,U(t,t_0) \psi_{\mathrm{int}}(t_0)\,,$$ wobei die erste Gleichheit eine Definition von ist$U$und die zweite ihre Differentialgleichung. In erster Ordnung in der Störung$V$Die Lösung ist $$U(t,t_0) = \mathbb{1} - i \int_{t_0}^t\mathrm{d}t' \,V(t') + O(V^2)\,,\qquad \forall\;t_0 > 0\,.$$ Bisher alles Standart. Der Erwartungswert kann dann transformiert werden als $$\begin{aligned} \mathcal{E}_A(\vec{x},t) &= \langle\psi(t)|A(\vec{x},t)|\psi(t)\rangle \\&= \langle \psi|U^\dagger(t,0)\, e^{i H_0 t} A(\vec{x},0)e^{-i H_0 t}\, U(t,0) |\psi\rangle \\& \simeq \mathcal{E}_A(\vec{x},0) - i\int_0^t \mathrm dt'\langle \psi| A(\vec{x},t) V(t') - V(t') A(\vec{x},t) | \psi \rangle\,. \end{aligned}$$ Hier habe ich einfach alle Definitionen des Interaktionsbildes verwendet und auf die erste Ordnung erweitert$V$. Machen wir nun eine physikalische Annahme. Dies ähnelt dem, was man in der Linear-Response-Theorie tut. Siehe zum Beispiel die Kubo-Formel .

Die Störung$V$das ich als "Kick" definiert habe, passiert nicht nur zu einer bestimmten Zeit, sondern auch an einem bestimmten Ort. Daher wird es den Hamilton-Operator als Integral eines lokalen Operators modifizieren$B$. Nämlich

$$V(t) = \int \mathrm{d}^{d-1} x B(\vec{x},t)\,.$$ Von diesem hat man $$\mathcal{E}_A(\vec{x},t) - \mathcal{E}_A(\vec{x},0) = \int_0^t\mathrm{d}t'\int \mathrm{d}^{d-1} x'\,\langle\psi|\big[A(\vec{x},t)\,, B(\vec{x}{}',t')\big]|\psi\rangle\,.$$ Hier sieht man sofort, dass Mikrokausalität implizieren muss, dass der Korrelator außerhalb des Lichtkegels verschwinden muss. Nehme an, dass$B$eine Störung an einem Ort in der Raumzeit erzeugt, ist das unmöglich$A$weiß davon, wenn sie raumartig getrennt sind. Sie müssten mindestens so lange warten, bis das Licht dort ankommt, um eine Änderung des Erwartungswerts zu haben. Daher besteht die einzige Möglichkeit, die Kausalität zu wahren, darin, zu fordern $$\big[A(\vec{x},t)\,, B(\vec{x}{}',t')\big] = 0\quad \mathrm{if}\; (x-x')^2 < 0\,.$$ Ein einfacher Widerspruch, den man sich ausdenken könnte, ist der folgende: Sagen Sie einem Freund, er solle den Hamilton-Operator einmal stören$t = 0$, oder es nicht zu tun. Dann setzt du dich raumartig von deinem Freund getrennt. Wenn$A$und$B$pendeln Sie nicht, können Sie durch einfaches Messen ableiten, ob Ihr Freund sich entschieden hat, Hamilton zu stören oder nicht$\mathcal{E}_A$. Und wie Sie vielleicht wissen, führt dies zu allen möglichen Paradoxien in der speziellen Relativitätstheorie.