Warum verfolgen wir in der Quantenmechanik und der Quantenfeldtheorie zwei verschiedene Ansätze zur „Bedeutung von Kausalität“?

In der Quantenmechanik arbeiten wir mit einer Ein-Teilchen-Theorie. Das heißt, wenn wir ein Teilchen entdecken, wissen wir, dass es unser einziges Teilchen ist und sonst nichts. Wenn dieses einzigartige Teilchen bei zwei Ereignissen in einem raumähnlichen Abstand auftaucht, bedeutet dies, dass es sich in superluminaler Entfernung bewegt hat und unsere Theorie die Kausalität verletzt.

Später erkennen wir jedoch, dass es ohne die Einführung einer möglicherweise unendlichen Anzahl von Teilchen keine "Quantenmechanik + Relativitätstheorie" gibt - dies zwingt uns, die Einteilchen-Quantenmechanik über Bord zu werfen, und stattdessen werden die Grundlagen der Quantenfeldtheorie gelegt. Der Betreiber$\phi(x)$entspricht dann nicht dem Nachweis irgendeines einzelnen Teilchens, sondern nur dem Nachweis irgendeines Teilchens aus dem praktisch unendlichen Ensemble nicht unterscheidbarer Teilchen der QFT.

Mit anderen Worten, das Auffinden eines Elektrons in der Materie um Sie herum auf der Erde und gleichzeitig in der Materie auf dem Mond entspricht$\langle 0| \psi (x) \psi(y) | 0 \rangle$mit$x-y$raumartig. Aber das bedeutet nicht, dass das Elektron superluminal zum Mond gesprungen ist, es ist nur ein anderes Elektron.

Folglich müssen wir unsere Bedingungen für die Kausalität auf etwas anderes lockern: Wenn ich bei einem Ereignis eine Messung durchführe$x$, es wird die Messung bei nicht beeinflussen$y$wenn$x-y$ist raumartig ; Das Auffinden eines Elektrons auf der Erde hat keinen Einfluss darauf, es im selben Moment auf dem Mond zu finden. Die Messungen, die sich gegenseitig nicht beeinflussen, tauschen in der Quantenmechanik aus, sodass wir am Ende benötigen$[\psi(x),\psi(y)] =0$zum$x-y$raumartig.

In diesem Beitrag gibt es mehrere Missverständnisse. Lassen Sie mich sie einzeln ansprechen.

In der nicht-relativistischen Quantenmechanik wird die Kausalität verletzt, indem man sagt, dass die Ausbreitungsamplitude eines Teilchens

$$A=\langle \textbf{x}|\exp{\Big(\frac{-i\textbf{p}^2t}{2m\hslash}}\Big)|\textbf{x}_0\rangle$$ zwischen zwei beliebigen Punkten $\textbf{x},\textbf{x}_0$ist für jede Zeit ungleich Null $t$, jedoch klein.

Das ist auf mehreren Ebenen falsch. Zunächst einmal ist in der nicht-relativistischen Mechanik ein Prozess genau dann akausal, wenn seine Amplitude für ungleich Null ist$t<0$. Ob es verschwindet oder nicht für$t>0$ist irrelevant. In der Tat, wenn$c\equiv \infty$Störungen können sich unendlich schnell ausbreiten (vgl. die Wärmegleichung), und dies wird nicht als Verletzung der Kausalität angesehen. Letzteres wird genau dann verletzt, wenn Wirkungen vor ihrer Ursache beobachtet werden, dh wenn die Amplitude für negative Zeiten ungleich Null ist.

Zweitens, Ihr Ausdruck für$A$ist keine Ausbreitungsamplitude; Sie haben die Schrittfunktion vergessen (vgl. Wikipedia )

Jetzt können Sie das sehen$A$verschwindet für$t<0$, also ist die Amplitude wie gefordert kausal. So weit, ist es gut.

Aber das gilt auch für die Quantenfeldtheorie. Die Ausbreitungsamplitude eines Teilchens von einem Raumzeitpunkt$x$zu einem anderen Raumzeitpunkt$y$, gegeben von

$$A(x,y)=\langle 0|\phi(x)\phi(y)|0\rangle\neq 0$$ auch für raumartige Trennungen.

Nein, das ist nicht richtig. Das Objekt$\langle 0|\phi(x)\phi(y)|0\rangle$hat nichts mit einer Ausbreitungsamplitude zu tun, weil das Objekt$\phi(y)|0\rangle$stellt kein Teilchen dar, das bei lokalisiert ist$y$. Das wissen Sie bereits . Ein (Nicht-)Verschwinden$A(x,y)$hat nichts mit Kausalität zu tun.

Wird also durch das vorige Argument nicht auch hier die Kausalität verletzt?

Nein, weil die erste$A$stellt ein völlig anderes Objekt dar als das zweite$A$. Verwenden Sie denselben Buchstaben, wenn Sie möchten, aber Sie haben es mit zwei verschiedenen Objekten zu tun.

„Aufgelöst“ wird dies in der QFT dadurch, dass man nicht fragen soll, ob sich Teilchen über raumartige Intervalle ausbreiten können, sondern ob eine Messung bei$x$kann eine Messung beeinflussen$y$wenn ihre Trennung raumartig ist, und wenn man rechnet$[\phi(x),\phi(y)]$zum$(x-y)^2<0$, stellt sich heraus, dass der Kommutator verschwindet. Die Kausalität bleibt also erhalten.

Das ist etwas richtig, aber bei weitem nicht die ganze Geschichte. Lassen Sie mich einen Absatz aus Weinbergs QFT (Seite 198) zitieren:

Die Bedingung$(5.1.32)$wird oft als Kausalitätsbedingung beschrieben , denn wenn$x-y$ist raumartig, dann kann kein Signal ankommen$y$aus$x$, so dass eine Messung von$\psi_\ell$an einem Punkt$x$sollte eine Messung nicht stören können$\psi_{\ell'}$oder$\psi^\dagger_{\ell'}$am Punkt$y$. Eine solche Kausalitätsbetrachtung ist plausibel für das elektromagnetische Feld, dessen Komponenten an einem gegebenen Raumzeitpunkt gemessen werden können, wie in einer klassischen Arbeit von Bohr und Rosenfeld gezeigt wird. Allerdings haben wir es hier mit Feldern wie dem Dirac-Feld des Elektrons zu tun, die in keiner Weise messbar sind. Der hier vertretene Standpunkt ist, dass Gl.$(5.1.32)$wird für die Lorentz-Invarianz der benötigt$S$-Matrix, ohne Nebenannahmen über Messbarkeit oder Kausalität.

wo$(5.1.32)\equiv [\psi_\ell(x),\psi_{\ell'}(y)]=[\psi_\ell(x),\psi^\dagger_{\ell'}(y)]=0$zum$x-y$raumartig.

Meine Frage ist also, warum wir in der Quantenmechanik und der Quantenfeldtheorie zwei verschiedene Ansätze zur "Bedeutung von Kausalität" verfolgen?

Wir nicht. Kausalität ist nur die Aussage, dass die Wirkung nach der Ursache kommt. In der nicht-relativistischen Mechanik ist jedes Intervall zeitartig, sodass Sie sich nur um die Schrittfunktion kümmern müssen. In der relativistischen Mechanik ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit von allem endlich, sodass Sie sich auch um raumähnliche Intervalle kümmern müssen. Aber das ist es.

Wenn die Ereignisse$x$und$y$raumartig getrennt sind, gibt es keine Lorentz-invariante Vorstellung davon, ob ein Ereignis früher als das andere ist, da es Transformationen gibt, die ihre zeitliche Reihenfolge umkehren.

Daher zu sprechen$\langle \phi(x)\phi(y)\rangle$als die „Amplitude, von der aus sich ein Teilchen ausbreitet$x$zu$y$" ist etwas irreführend - zumindest in manchen Frames ergibt dieser Satz keinen Sinn, weil$y$ist früher als$x$, und sie würden eher zuschauen$\langle \phi(y)\phi(x)\rangle$. Also beides$\langle \phi(x)\phi(y)\rangle$und$\langle \phi(y)\phi(x)\rangle$beschreiben im Wesentlichen den gleichen Prozess - die Ausbreitung eines Teilchens zwischen den Punkten$x$und$y$- und nur der Kommutator ist sinnvoll, da die Summe / Differenz dieser Amplituden betrachtet wird.

Das Betrachten nur einer der Amplituden ist wie das Betrachten nur der s-Kanal-Diagramme für einen Prozess und das Ziehen aller möglichen (falschen) Schlussfolgerungen daraus.