Kausalität und Quantenfeldtheorie [Duplikat]

Ich habe ein Problem mit dem Beweis der Kausalität in Peskin & Schroeder, An Introduction to QFT, Seite 28. Um Verwirrung zu vermeiden, verwende ich die Drei-Vektor-Notation und schreibe die Gl. (2.53) für$y=0$folgendermaßen:

$[\phi(x,t),\phi(0,0)]=\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\sqrt{p^2+m^2}}\left(e^{-i\mathrm{p}.\mathrm{x}-it\sqrt{p^2+m^2}}-e^{i\mathrm{p}.\mathrm{x}+it\sqrt{p^2+m^2}}\right)$

Das Buch geht weiter darüber, wie der Integrand, der Lorentz-invariant ist, dieses Integral zu Null für das x aus dem Lichtkegel macht. Aber ich (ich bin kein Experte für spezielle Relativitätstheorie) möchte es strenger sehen:

nach dem Ändern von Variablen$p\to-p$im ersten Term vereinfacht sich die Gleichung zu:

$[\phi(x,t),\phi(0,0)]=\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{-2i}{2\sqrt{p^2+m^2}}e^{i\mathrm{p}.\mathrm{x}}\sin\left(t\sqrt{p^2+m^2}\right)$

mit sphärischen Koordinaten:

$[\phi(x,t),\phi(0,0)]=\int \frac{dpd\phi d\theta p^2\sin\theta}{(2\pi)^3}\frac{-i}{\sqrt{p^2+m^2}}e^{ipx\cos\theta}\sin\left(t\sqrt{p^2+m^2}\right)\\ [\phi(x,t),\phi(0,0)]=\int_0^{\infty}\frac{dpp}{(2\pi)^2}\frac{-2i}{x\sqrt{p^2+m^2}}\sin (px)\sin\left(t\sqrt{p^2+m^2}\right)$

erneut nach einer erneuten Variablenänderung$u=\sqrt{p^2+m^2}$,

$[\phi(x,t),\phi(0,0)]=\frac{-2i}{x}\int_m^{\infty}\frac{du}{(2\pi)^2}\sin (x\sqrt{u^2-m^2})\sin\left(tu\right)$

Ich kann nicht sehen, wie dieses Integral Null sein sollte$x>t$!!! Kann mir das bitte jemand erklären?