Kommutatoren, Messung und Kausalität in der QFT

Question

Kommutatoren, Messung und Kausalität in der QFT

Aaron

In Peskin und Schroeder pg. 27-28 diskutieren sie die Klein-Gordon-Theorie und Kausalität. Für eine raumartige Trennung $(x-y)^2 < 0$ , das zeigen sie

⟨ 0 | ϕ (X) ϕ (j) | 0 ⟩ \neq 0

$\langle 0| \phi(x)\phi(y) |0\rangle \neq 0$

Sie sagen weiter, dass dies die Kausalität nicht wirklich aufhebt. Vielmehr sollte nicht darauf geachtet werden, ob sich Teilchen über raumartige Intervalle ausbreiten können, sondern ob raumartig getrennte Messungen sich gegenseitig beeinflussen können. Daher argumentieren sie, um die Messungen des Feldes zu verstehen $\phi(x)$ , man sollte versuchen, den Kommutator zu verstehen $[\phi(x),\phi(y)]$ .

Diese letzte Aussage ist für mich undurchsichtig. In der QM-Einstellung kann die Reihenfolge der Operatoren physikalisch so interpretiert werden, dass sie zeitlich zuerst vor dem zweiten angewendet wird. Dies macht jedoch im QFT-Kontext keinen Sinn, da man den Operator an einem bestimmten Punkt in der Raumzeit anwendet; Das Umdrehen der Reihenfolge ist nicht gleichbedeutend mit einer Änderung der zeitlichen Reihenfolge der Durchführung der Messungen.

Was versteht man im QFT-Kontext unter der „Messung eines Feldes“ in Analogie zur QM-Messung eines Operators?
Warum ist der Kommutator das Objekt der Wahl, wenn man Kausalität verstehen will? Wie ist hier die physikalische Auslegung des Kommutators, insbesondere im Hinblick auf Messungen von $\phi(x)$ ?

Demosthene

Der Kommutator verhält sich wie in QM: Sie vergleichen das Ergebnis der Anwendung eines Operators vor dem anderen und umgekehrt – hier entspricht dies der Erzeugung von a

ϕ

$\phi$ Teilchen am Punkt

x

$x$ oder

y

$y$ . Wenn der Kommutator ist

0

$0$ , das Ergebnis ist in beiden Fällen dasselbe: Sie sprechen nicht miteinander. Wenn dies nicht der Fall ist, können sich Ihre "Messungen" gegenseitig beeinflussen.

Bob Bee

Nun, wenn ich mich recht aus Tongs Vorlesungen erinnere, zerfällt dieser Ausdruck exponentiell mit der raumartigen Entfernung, und er erklärte weiter, dass es nicht so schlimm ist, ein negatives Exponential, und sowieso nur ein Erwartungswert oder eine Wahrscheinlichkeit, nur nicht genau Null. Er fuhr mit dem Unterricht fort. Mich störte die Nicht-Null. Ich weiß nicht, ob der exponentielle Abfall schnell und scharf ist oder nicht, und wenn nicht Null, ob man die Wahrscheinlichkeit konzeptionell als Fluktuation behandeln könnte. Aber warum sollte die Wahrscheinlichkeit, es bei x zu erzeugen und bei y mit xy spacelike zu vernichten, NICHT Null sein?

Aaron

@Demosthene Danke für den Kommentar, aber Ihre Antwort beantwortet nicht die grundlegende Frage, warum Sie das Ergebnis der Anwendung eines Operators vor dem anderen vergleichen sollten. Im QM entspricht die Reihenfolge der Operatoren der Reihenfolge, in der Sie zeitlich messen. Dies trifft im QFT-Szenario offensichtlich nicht zu, aber Kausalität ist eine Aussage über die Zeitordnung, daher wird die Bedeutung des Kommutators in Bezug auf die Kausalität (für mich) mehrdeutig. Auch die Auslegung von

ϕ (x)

$\phi(x)$ als ein Teilchen zu erstellen

x

$x$ ist nur wahr, wenn es auf den Vakuumzustand einwirkt.

Keith McClary

"die Interpretation von ϕ (x) als Erzeugung eines Teilchens bei x". Ich glaube nicht, dass das richtig ist.

a^{+} (k)

$a^+(k)$ erzeugt ein Impulsteilchen (Wellenzahl)

k

$k$ . Die Interpretation wäre richtig, wenn ϕ die Fourier-Transformation von wäre

a

$a$ , aber es gibt den zusätzlichen Faktor von

(ω_{k})^{- 1 / 2}

$(\omega_k)^{-{1/2}}$ .

Alex Zeffert

Ausgezeichnete Frage. Das habe ich versucht zu verstehen. Wenn Sie es in den letzten zwei Jahren herausgearbeitet haben, beantworten Sie bitte Ihre eigene Frage. Das Beste, was mir einfällt, ist, dass der Kommutator Null bedeutet, dass Sie einen Zustand wählen können

| Ψ ⟩

$\lvert \Psi \rangle$ Das ist sowohl ein Eigenvektor eines Operators als auch ein Eigenvektor des anderen, aber wenn es nicht Null ist, können Sie nicht. Ich denke an Zustände als mögliche Blockuniversen, aber ich habe keine Ahnung, ob das richtig ist. Und ich bin mir nicht sicher, was das mit Kausalität zu tun hat. Vielleicht ist die Freiheit, gegenseitige Eigenvektoren zu wählen, dasselbe wie Nicht-Kausalität.

Antworten (2)

Kommutatoren, Messung und Kausalität in der QFT

Der Kommutator verhält sich wie in QM: Sie vergleichen das Ergebnis der Anwendung eines Operators vor dem anderen und umgekehrt – hier entspricht dies der Erzeugung von a $\phi$ Teilchen am Punkt $x$ oder $y$ . Wenn der Kommutator ist $0$ , das Ergebnis ist in beiden Fällen dasselbe: Sie sprechen nicht miteinander. Wenn dies nicht der Fall ist, können sich Ihre "Messungen" gegenseitig beeinflussen.
Nun, wenn ich mich recht aus Tongs Vorlesungen erinnere, zerfällt dieser Ausdruck exponentiell mit der raumartigen Entfernung, und er erklärte weiter, dass es nicht so schlimm ist, ein negatives Exponential, und sowieso nur ein Erwartungswert oder eine Wahrscheinlichkeit, nur nicht genau Null. Er fuhr mit dem Unterricht fort. Mich störte die Nicht-Null. Ich weiß nicht, ob der exponentielle Abfall schnell und scharf ist oder nicht, und wenn nicht Null, ob man die Wahrscheinlichkeit konzeptionell als Fluktuation behandeln könnte. Aber warum sollte die Wahrscheinlichkeit, es bei x zu erzeugen und bei y mit xy spacelike zu vernichten, NICHT Null sein?
@Demosthene Danke für den Kommentar, aber Ihre Antwort beantwortet nicht die grundlegende Frage, warum Sie das Ergebnis der Anwendung eines Operators vor dem anderen vergleichen sollten. Im QM entspricht die Reihenfolge der Operatoren der Reihenfolge, in der Sie zeitlich messen. Dies trifft im QFT-Szenario offensichtlich nicht zu, aber Kausalität ist eine Aussage über die Zeitordnung, daher wird die Bedeutung des Kommutators in Bezug auf die Kausalität (für mich) mehrdeutig. Auch die Auslegung von $\phi(x)$ als ein Teilchen zu erstellen $x$ ist nur wahr, wenn es auf den Vakuumzustand einwirkt.
"die Interpretation von ϕ (x) als Erzeugung eines Teilchens bei x". Ich glaube nicht, dass das richtig ist. $a^+(k)$ erzeugt ein Impulsteilchen (Wellenzahl) $k$ . Die Interpretation wäre richtig, wenn ϕ die Fourier-Transformation von wäre $a$ , aber es gibt den zusätzlichen Faktor von $(\omega_k)^{-{1/2}}$ .
Ausgezeichnete Frage. Das habe ich versucht zu verstehen. Wenn Sie es in den letzten zwei Jahren herausgearbeitet haben, beantworten Sie bitte Ihre eigene Frage. Das Beste, was mir einfällt, ist, dass der Kommutator Null bedeutet, dass Sie einen Zustand wählen können $\lvert \Psi \rangle$ Das ist sowohl ein Eigenvektor eines Operators als auch ein Eigenvektor des anderen, aber wenn es nicht Null ist, können Sie nicht. Ich denke an Zustände als mögliche Blockuniversen, aber ich habe keine Ahnung, ob das richtig ist. Und ich bin mir nicht sicher, was das mit Kausalität zu tun hat. Vielleicht ist die Freiheit, gegenseitige Eigenvektoren zu wählen, dasselbe wie Nicht-Kausalität.

Welt · Answer 1

Laut Weinberg in seinem Text sind die Komponenten der meisten Quantenfelder nicht wirklich auf offensichtliche Weise messbar, also ist es am besten, nicht in diesen Begriffen zu denken.

Allerdings müssen die Felder beim Auswerten der S-Matrix aneinander vorbeikommutiert werden, und dann hängt die Lorentz-Invarianz der S-Matrix entscheidend davon ab, dass die Felder wie Trennungen im Raum pendeln.

Viele Aspekte der physikalischen Interpretation in QFT sind bestenfalls subtil, und philosophisch schwache, aber plausibel klingende heuristische Argumente sind keine Seltenheit. (Sie können bereits sehen, dass sich die Leute über etwas so Grundlegendes wie ob nicht einig sind $\phi$ erzeugt ein Partikel in den Kommentaren!) Ich fand die frühen Kapitel in Peskin genau aus diesem Grund schwierig - es ist viel besser, wenn Sie zur Phänomenologie kommen und die Physik weniger undurchsichtig ist. Wenn Sie ein Buch wollen, mit dem Sie nicht streiten können, versuchen Sie es mit Weinberg – aber das hat den Preis, dass Sie doppelt so lange brauchen, um den Stoff zu behandeln, leider in einer ziemlich eigenwilligen Notation, die es schwierig macht, hinein und heraus zu kommen.

Jungfrau · Answer 2

Diese Antwort soll der Antwort von @ rwold einige Details hinzufügen.

In Teilchenphysikexperimenten messen wir den Wirkungsquerschnitt für Teilchenwechselwirkungen, der von der S-Matrix abhängt. Die LSZ (Lehmann-Symanzik-Zimmermann-Reduktionsformel), die die Lorentz-invarianten S-Matrix-Elemente in Beziehung setzt $\langle f| S|i\rangle$ für $n$ asymptotische Impuls-Eigenzustände zu einem Ausdruck, der die Quantenfelder beinhaltet $\phi(x)$ :

⟨ F | S | ich ⟩ = [ich \int D^{4} X_{1} (◻ + M^{2}) e^{- ich P_{1} X_{1}}] \dots [ich \int D^{4} X_{N} (◻ + M^{2}) e^{+ ich P_{N} X_{N}}] \times ⟨ Ω | T {ϕ (X_{1}) ϕ (X_{2}) ϕ (X_{3}) \dots ϕ (X_{N})} | Ω ⟩

$\langle f|S |i\rangle =\left[i\int d^4x_1 \left(\square+m^2\right) e^{-i p_1 x_1}\right]\cdots \left[i\int d^4x_n\left(\square +m^2\right) e^{+i p_n x_n}\right]\\ \times \langle \Omega |T\left\{\phi\left(x_1 \right) \phi \left(x_2 \right) \phi\left(x_3 \right) \cdots \phi \left(x_n\right)\right\}|\Omega \rangle$ Der

T {\dots}

$T \{\cdots \}$ bezieht sich auf das zeitbestellte Produkt und zeigt an, dass alle Operatoren so geordnet werden sollten, dass die zu späteren Zeiten immer links von denen zu früheren Zeiten stehen. Z.B

T {ϕ (x_{1}) ϕ (x_{2})} = ϕ (x_{2}) ϕ (x_{1})

$T \left\{ \phi \left(x_1\right) \phi \left(x_2\right)\right\}=\phi\left(x_2 \right) \phi \left(x_1 \right)$ Wenn

t_{2} > t_{1}

$t_2>t_1$ egal ob

ϕ (x_{1})

$\phi \left(x_1 \right)$ Und

ϕ (x_{2})

$\phi \left(x_2 \right)$ pendeln oder nicht. Wie auch immer, wenn

x_{1}

$x_1$ Und

x_{2}

$x_2$ raumartig getrennt sind, kann man zu einem anderen Rahmen wechseln, der die zeitliche Reihenfolge umkehrt. Dh wenn wir hätten

t_{2} > t_{1}

$t_2>t_1$ in einem Rahmen und

t_{1} > t_{2}

$t_1>t_2$ in einem anderen. Damit die S-Matrix Lorentz-invariant (dh rahmenunabhängig) ist, benötigen wir dies

[ϕ (x_{1}), ϕ (x_{2})] = 0

$[\phi(x_1),\phi(x_2)]=0$ Wenn

x_{1}

$x_1$ Und

x_{2}

$x_2$ sind räumlich wie getrennt.

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