Warum kann ein Teilchen außerhalb seines Vorwärtslichtkegels eine Amplitude ungleich Null haben?

1. In der speziellen Relativitätstheorie definiert der Lichtkegel die Menge von Punkten, die von Null-Geodäten ausgehend von einem Punkt erreicht werden können$^1$. Es ist im Wesentlichen die Grenze der Menge von Punkten, die durch zeitartige Kurven erreicht werden kann. Wir nennen eine Kurve zeitartig, wenn ihr Tangentenvektor$u^\mu$wird wie folgt normiert$^{2}$:$u^\mu u^\nu\eta_{\mu\nu}>0$. Drei Grundprinzipien der speziellen Relativitätstheorie sind

1. Masselose Teilchen bewegen sich auf Nullkurven.

2. Massive Partikel bewegen sich auf zeitähnlichen Kurven.

3. Tachyonen bewegen sich auf raumähnlichen Kurven und sind unkörperlich .

Der Lichtkegel der speziellen Relativitätstheorie definiert also die Punktmenge, die ein reales Teilchen in Zukunft einnehmen kann. Wenn die Amplitude außerhalb dieses Kegels nicht Null ist, dann besteht die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen entlang einer Kurve mit einem raumähnlichen Tangentenvektor ausbreitet und somit die spezielle Relativitätstheorie verletzt.

2. Vielleicht ist dein Zitat etwas irreführend. Ich schlage folgende Umschreibung vor:

Wenn die Amplitude ungleich Null ist, besteht eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null, dass ein echtes Teilchen außerhalb seines vorderen Lichtkegels gefunden wird. Das ist inakzeptabel und würde den Tod der Quantentheorie bedeuten, wie wir sie bisher kannten.

Wenn Sie noch nie von der Quantenfeldtheorie gehört haben, aber von einer kleinen Ungleichheit gehört haben

$$\Delta x\Delta p\ge\frac{\hbar}{2}$$ Sie könnten argumentieren, dass Flugbahnen ein wenig "unscharf" sind und möglicherweise die spezielle Relativitätstheorie verletzen.

Angenommen, wir hätten von QFT gehört. Lassen Sie uns zeigen, dass die Amplitude eines virtuellen Teilchens außerhalb des Lichtkegels ungleich Null ist. Dazu müssen wir den Propagator einer internen Linie eines Feynman-Diagramms betrachten. Das kanonische Beispiel hier ist der Feynman-Propagator eines reellen Skalarfeldes. Wir lösen die Gleichung

$$-(\Box+m^2)D(x)=\delta^4(x)$$ nach der Methode der Greenschen Funktionen und erhalten$^3$ $$D(x)=\int\frac{d^4k}{(2\pi)^2}\frac{e^{ikx}}{k^2-m^2+i\epsilon}$$ Eine Standardberechnung nach der Rückstandsmethode führt zu$^4$ $$D(x)=-i\int\frac{d^3k}{(2\pi)^32\omega_k}\left[e^{-i(\omega_kt-\mathbf{k}\cdot\mathbf{x})}\theta(t)+e^{i(\omega_kt-\mathbf{k}\cdot\mathbf{x})}\theta(-t)\right]$$ Wo$\omega_k=\sqrt{\mathbf{k}^2+m^2}$ist die On-Shell-Energie. Die physikalische Interpretation von$D(x)$ist, dass es die Amplitude beschreibt, mit der sich ein Teilchen vom Ursprung zum Punkt bewegt$x$. Das findet man$^5$ $$D(0,\mathbf{x})\simeq ce^{-mr}$$ Wo$c$ist eine irrelevante Konstante.

Virtuelle Teilchen verletzen also die spezielle Relativitätstheorie! Na und? Sie sind nicht real und die spezielle Relativitätstheorie schränkt nur reale Teilchen ein. Diese Eigenschaft virtueller Teilchen wird durch die Unschärferelation wegerklärt.

Wie werden also Kausalität, spezielle Relativitätstheorie und Lorentz-Invarianz in der Feldtheorie berücksichtigt? Die Antwort ist wahrscheinlich wichtig genug, um als Theorem bezeichnet zu werden$^6$. Lassen$\mathcal{H}(x)$sei die Wechselwirkungs-Hamilton-Dichte. Dann ist die$S$-Matrix kann als Dyson-Reihe geschrieben werden

$$S=\mathcal{T}\exp\left(-i\int d^4x\,\mathcal{H}(x)\right)$$ Wo$\mathcal{T}$bezeichnet Zeitordnung. Unter Verwendung des Prinzips der Clusterzerlegung können wir den Wechselwirkungs-Hamiltonoperator in Form von Quantenfeldern schreiben.

Satz. Alle Quantenfelder gehorchen

$$[\psi_\ell(x),\psi_{\ell'}(y)]_\mp=[\psi_\ell(x),\psi^\dagger_{\ell'}(y)]_\mp=0$$ für$(x-y)$raumartig. Der$-$gilt für Bosonen und$+$für Fermionen.

Sie können (mühsam) überprüfen, ob Ihre Erweiterungen im Standardmodus diesem Theorem gehorchen.

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$^1$In der Allgemeinen Relativitätstheorie gilt dies jedoch nur lokal und hängt zudem von der Topologie der Raumzeit ab. Siehe zB Wald, General Relativity (1984).

$^2$Hier verwende ich die$(+--\,-)$Konvention.

$^3$Siehe zB diesen Phys SE Beitrag.

$^4$Siehe zB Cahill, Physical Mathematics (2013), p. 201.

$^5$Die vollständige Berechnung findet sich in Zee, Quantum Field Theory in a Nutshell (2010, 2. Aufl.), S. 545.

$^6$Siehe zB Weinberg, The Quantum Theory of Fields (1995). Ich kann keine bestimmte Seite festnageln, weil der Beweis über die Kapitel 3, 4 und 5 verschmiert ist.

Mit Ihrer ersten Frage haben Sie die Antwort bereits angesprochen: Der Vorwärtslichtkegel eines Teilchens beschreibt alle Raumzeitkoordinaten, zu denen ein vom Teilchen emittiertes Photon reisen könnte. Beachten Sie, dass dies ein 4D-Kegel ist; Die 3D-Komponente ist eine Kugel und dehnt sich entlang der Zeitdimension aus.

Nehmen wir also an, dass genau in diesem Moment eine Supernova in der Andromeda-Galaxie explodiert. Diese Galaxie ist 2,5 Millionen Lichtjahre entfernt, was bedeutet, dass Sie und ich uns nicht in ihrem vorderen Lichtkegel befinden; Das Licht der Supernova wird schließlich unseren Standort im Weltraum erreichen, aber rechtzeitig an uns "vorbei" scheinen , da wir beide in 2,5 Millionen Jahren (wahrscheinlich) nicht mehr hier sein werden.

Betrachten wir nun etwas Materie, die von der Supernova ausgestoßen wird: Sagen wir atomares Helium, also haben Sie einen Kern mit zwei Elektronen darum herum. Die Elektronen, wie wir sie verstehen, haben normalerweise keinen Ort, aber wir können eine Wahrscheinlichkeitswolke beschreiben, wo wir sie finden könnten, wenn wir sie messen und suchen würden. Diese Wahrscheinlichkeitswolke ist technisch unbegrenzt: Es gibt keinen besonderen Grund, warum wir nicht nach einem Elektron mehrere Fuß vom Kern entfernt suchen würden (in atomarer Hinsicht eine enorme Entfernung), obwohl dies höchst unwahrscheinlich wäre.

Also nehmen wir eine Messung in der Nähe des Kerns vor und finden das Elektron, und Sekunden später messen wir ein paar Meter entfernt erneut und finden das Elektron wieder. Toll! Die Chancen für dieses Ergebnis standen astronomisch gegen uns, aber es war immer noch möglich und es geschah zufällig. Nehmen wir nun an, ein paar Sekunden später messen unsere Kollegen in der Milchstraße (denken Sie daran, wir befinden uns in Andromeda in der Nähe der Supernova) nach dem Elektron. Ich habe vorher gesagt, dass die Wahrscheinlichkeitswolke für das Elektron technisch unbegrenzt ist, also sollte es bei einem großen negativen Exponenten eine Chance geben, dass unsere Kollegen unser Elektron in ihrer Nähe finden, richtig?

Die Antwort hier ist nein. Während die Wahrscheinlichkeitswolke (die Amplitude in Ihrer Literatur) überall im Raum ungleich Null ist, müssen Sie auch die Zeit berücksichtigen: Das offensichtlichste Beispiel ist, dass das Elektron an keinem beliebigen Punkt im Raum existieren kann, bevor es überhaupt existiert; und wenn es existiert, bewegt es sich mit endlicher Geschwindigkeit und benötigt daher Zeit, um sich von einem Ort zum anderen zu bewegen. Die früheste Wahrscheinlichkeit, dass das Elektron in der Milchstraße gefunden wird, wäre 2,5 Myr, und schließlich wird das gesamte sichtbare Universum eine solche Wahrscheinlichkeit haben. Nur jetzt nicht.

Mit anderen Worten, ein Teilchen, das außerhalb seines vorderen Lichtkegels erscheint, ist gleichbedeutend damit, dass es sich schneller als das Licht bewegt ... weshalb Ihr Buch tatsächlich sagt, dass dies "inakzeptabel" ist.

Wenn Sie keine Quantenmechanik betreiben würden, hätte Ihr Teilchen seine Masse$m$, Energie$E$, und Schwung$\vec{p}$folgende Bedingung erfüllen:

$$E^2=(c\vec{p})^2+(c^2m)^2$$

und der Vierervektor$(E,c\vec{p})$würde tangential zur Teilchenbewegung durch die Raumzeit zeigen. Die Tatsache, dass das Teilchen eine reale Masse hat, zwingt die Bewegung also dazu, innerhalb des vorderen Lichtkegels zu sein.

In der Quantenmechanik modellieren Sie ein Teilchen normalerweise nicht als einfaches Teilchen mit einer Flugbahn, und in der Quantenfeldtheorie ist dies praktisch unbekannt. Aber Sie können immer noch Zustände mit Impuls und Energie betrachten. Die Zustände mit der Energie und dem Impuls, die befriedigen

$$E^2=(c\vec{p})^2+(c^2m)^2$$

heißen on-shell . Und ich denke, es ist am besten, sich diese als stabile Zustände vorzustellen, in dem Sinne, dass sie sich mit minimalen Änderungen (z. B. nur einer Phase) durch das Vakuum bewegen können. Genauer gesagt ähneln sie Zuständen vor der zweiten Quantisierung oder Eigenzuständen freier Teilchen. Oft sind dies die asymptotischen (in Raum und Zeit) Zustände, z. B. wenn Sie Streuung durchführen, um S-Matrix-Elemente zu berechnen.

Also rundherum kann man sie sich als stabil vorstellen wenn nichts los ist, mit dem Staubsauger kommen sie gut zurecht.

Aber anders als in der klassischen Physik verlangen wir nicht, dass die Energie und der Impuls, die mit einem nicht freien, nicht asymptotischen Teilchen verbunden sind, auf der Schale sind . Und wenn wir die Wahrscheinlichkeitsamplitude berechnen, anstatt darauf zu bestehen, dass alles auf der Schale ist, könnten wir stattdessen einen Faktor berechnen wie:

$$\frac{1}{E^2-(c\vec{p})^2-(c^2m)^2-iq}.$$

Welches ist wann am größten (in der Größenordnung).$E^2=(c\vec{p})^2+(c^2m)^2$, kann aber definitiv haben$E^2-(c\vec{p})^2\neq (c^2m)^2$. Diese "Zustände" sind Off-Shell , aber sie sind nicht frei, sie sind keine Eingabezustände, sie sind keine Ausgabezustände, sie sind nicht asymptotisch, und sie gehen immer zusammen, sie sind "virtuelle Teilchen", wenn Sie sich das vorstellen wollen Teilchen, und sie existieren per Definition nur innerhalb einer Berechnung, in der es ein ganzes Kontinuum von ihnen gibt. Ihre „Bewegung“ möchte man eigentlich nicht zu wörtlich nehmen, auch wenn man gerne an die Bewegung von Quantenteilchen denkt.

Die wahre Wurmkiste ist, dass man, wenn man etwas entdeckt, damit interagieren muss, und wenn man interagiert, ist das, womit man interagiert, kein freies Teilchen, also sind virtuelle Teilchen wirklich in jedem Detektor involviert. Aber wenn es nicht wirklich nahe an der Schale ist, wird die Amplitude lächerlich klein sein. Und es ist schwer, genau zu wissen, wohin es gegangen ist, wenn Sie einen Detektor haben, da der Detektor selbst eine gewisse Streuung hat, sodass Sie die Unbestimmtheit auch davor bewahrt, ein Problem zu sein.