Impulserhaltung beim Streuprozess

Die "zwei Wörter" Antwort ist, dass die$S$-Matrix ist eine Poincare-Kovariante. Insbesondere die Poincare-Kovarianz erfordert (unabhängig von der Anzahl der Teilchen in Anfangs- und Endzustand sowie von den Details der Theorie) die Proportionalität der$S$-Matrix zur Delta-Funktion$\delta(p_{1}+...+p_{n}-p_{1'}-...-p_{n'})$, Wo$\{p_{i}\}$sind Impulse von Teilchen im Anfangszustand und$\{p_{i'}\}$sind Impulse von Teilchen im Endzustand. Dies kann qualitativ verstanden werden, indem berücksichtigt wird, dass die Untergruppe der Poincare-Gruppe – die Translationsgruppe – zur Erhaltung des Spannungs-Energie-Tensors führt, was insbesondere eine 4-Impulserhaltung erfordert. Aus diesem Grund verwenden wir für jede Amplitude innerhalb des Feynman-Diagrammansatzes die Delta-Funktion.

Der folgende Text enthält nur die Herleitung dieser Aussage.

Angenommen, die S-Matrix:

$$\tag 1 S_{\alpha \beta} = \langle \alpha, \text{out}|\beta, \text{in}\rangle$$ Die von Ihnen in der Frage erwähnte QFT basiert auf der Poincare-Symmetrie. Dies bedeutet insbesondere, dass wir dies im Raum eines jeden Staates postulieren müssen $|\alpha, \text{out}\rangle$Und $|\beta,\text{in}\rangle$realisiert ist die unitäre Transformation der Poincare-Gruppe äquivalent zu einer Darstellung im Fock-Raum. Das bedeutet insbesondere, dass (und dasselbe für $|\beta,\text{out}\rangle$) $$\tag 2 |\alpha,\text{in}\rangle = |\mathbf p_{1},\sigma_{1},...,\mathbf p_{n},\sigma_{n}\rangle,$$ Wo $\{p_{i}, \sigma_{i}\}$definiert den Ein-Teilchen-Zustand mit gegebenem 4-Impuls $p_{i}$entsprechend einer festen Energie-Impuls-Umlaufbahn (z. B. massive oder masselose Teilchen) und Helizität $\sigma_{i}$(vorausgesetzt das Teilchen hat einen Spin $s_{i}$). Das Poincare-Gruppenumwandlungsgesetz für den Staat $(2)$Ist $$\tag 3 |\alpha,\text{out}\rangle \to \sqrt{\frac{(\Lambda p_{1})^{0}}{p_{1}^{0}}...\frac{(\Lambda p_{n})^{0}}{p_{n}^{0}}}e^{ia_{\mu}\Lambda^{\mu}_{\ \nu}(p_{1}+...p_{n})^{\nu}}\times$$ $$\times \sum_{\tilde{\sigma}_{1},\tilde{\sigma}_{2},...}D_{\tilde{\sigma}_{1}\tilde\sigma_{1}}^{s_{1}}...D_{\tilde{\sigma}_{n}\sigma_{n}}^{s_{n}}|(\Lambda p_{1}),\tilde{\sigma}_{1},...,(\Lambda p_{n}),\tilde{\sigma}_{n}\rangle$$ Hier $a_{\mu}$Und $\Lambda_{\mu}^{\ \nu}$werden durch die Poincare-Gruppentransformation definiert, die auf den beliebigen 4-Vektor wirkt $x_{\mu}$, $$\tag 4 x_{\mu} \to \Lambda_{\mu}^{\ \nu}x_{\nu} + a_{\mu},$$ Und $D_{\sigma'\sigma}$ist die unitäre Lorentz-Gruppentransformation, die der festen Umlaufbahn des 4-Vektors entspricht. Dasselbe gilt für $|\beta,\text{in}\rangle$.

Seit der Verwandlung$(3)$einheitlich ist, bedeutet dies, dass$S$-Matrix$(1)$ist kovariant, dh

$$S_{\alpha\beta} \to S_{\alpha\beta}'= S_{\alpha\beta}$$ Insbesondere für die Verwandlung $(4)$korrespondierend zu $\Lambda = \mathbf{1}$und willkürlich $a_{\mu}$Man erhält $$S_{\alpha\beta}' = e^{ia_{\mu}(p_{1}+p_{2}+...p_{n}-p_{1'}-p_{2'}-...-p_{n'})}S_{\alpha\beta} = S_{\alpha\beta}$$ Für nicht-triviale Streuung erfordert diese Gleichheit Null $S_{\alpha\beta}$es sei denn $$p_{1}+p_{2}+...+p_{n}-p_{1'}-p_{2'}-...-p_{n'} = 0$$ Aber das bedeutet nichts anderes als die Verhältnismäßigkeit der $S$-Matrix $S_{\alpha \beta}$zur Delta-Funktion $\delta(p_{1}+...p_{n}-p_{1}'-...-p_{n}')$, $$S_{\alpha\beta} \equiv T_{\alpha\beta}\delta(p_{1}+...+p_{n} - p_{1'}-...-p_{n'})$$

PS Sie können mehr über die Poincare-Kovarianz der finden$S$-Matrix (sowie die oben angegebene Ableitung) in Weinbergs QFT, Vol. 1. Ich denke auch, dass eine ähnliche Herleitung in dem Buch von Schwartz zu finden ist.