Verwirrung in Bezug auf Feldoperatoren

Die zweite Quantisierung des Skalarfeldes führt zu einer Algebra von Quantenfeldoperatoren

[ ϕ ( X ) , ϕ ( j ) ] = 0 ,     [ π ( X ) , π ( j ) ] = 0 ,     [ ϕ ( X ) , π ( j ) ] = ich ℏ δ ( X − j ) .
Wobei die Feldoperatoren durch gegeben sind
ϕ ( X ) = ∫ D 3 k ( 2 π ) 3 2 ω k ( A k e ich k X + A k † e − ich k X ) , π ( X ) = ∂ 0 ϕ ( X )
Diese bestehen aus zwei gegenläufig rotierenden Begriffen. In vielen Körpertheorien habe ich jedoch auch Feldoperatoren gesehen, die als definiert sind
ϕ ( X ) = 1 v ∑ k A k e ich k . X
Ich kann verstehen, warum wir außerhalb des Kontexts der relativistischen Physik die Anforderung der Kovarianz fallen lassen, aber der Begriff der Gegenrotation wurde ebenfalls fallen gelassen, und daher hat diese Definition eine ganz andere Algebra. Die frühere Definition scheint eine Verallgemeinerung des zu sein X ^ -Operator eines harmonischen 1D-Oszillators, während letzterer wie eine Verallgemeinerung des Erzeugungsoperators erscheint A ^ .

Das wäre in Ordnung, und ich könnte es als eine Wahl der Konvention akzeptieren, wenn ich nicht gesehen hätte, dass Greens-Funktionen mit beiden definiert sind. Die grünen Funktionen, wie ich sie verstehe, ermöglichen die Berechnung von zeitgeordneten Operatorprodukten, indem sie eine allgemeine Form für die Amplitude der Messung verschiedener Feldwerte zu verschiedenen Zeiten angeben. Dies scheint mir jedoch nicht zu erklären, warum dieses Verständnis der Funktion der Grünen mit der letzteren Definition vermengt wird.

Ich habe eindeutig etwas Wichtiges übersehen, aber das Durchsuchen der einschlägigen Lehrbücher hat nicht herausgefunden, was das ist. Wenn jemand erklären kann, was die Funktion eines Grüns ist, und auch erklären kann, wie diese beiden Definitionen in Einklang gebracht werden können, wäre ich sehr dankbar.

Siehe Feynman und Hibbs (1965), Quantum Mechanics and Path Integrals, Kapitel 4 und 5.
Ich verstehe nicht, was Sie über die Funktion der Grünen sagen wollen. Es ist nur eine Frage der Konvention. Würde es helfen, wenn ich im Feldtheorie-Kontext schrieb ϕ = ϕ + + ϕ − (siehe P&S)? Offensichtlich ϕ , π werden unterschiedliche Vertauschungsbeziehungen gehorchen ϕ + , ϕ − , aber sie sind miteinander verwandt. Dann ϕ + , ϕ − im feldtheoretischen Kontext gleichbedeutend sein wird ϕ , ϕ † im Vielteilchenkontext.
Zugegeben, sie sind verwandt, sogar trivial verwandt, aber die Werte ⟨ T ϕ ( T ) ϕ ( T ' ) † ⟩ sind verschiedene Größen, wenn Sie die verschiedenen Definitionen nehmen, und Sie werden verschiedene Größen auswerten.

Antworten (2)

Ich glaube nicht, dass die vorhandene Antwort an den richtigen Punkt kommt. Stattdessen sind Sie auf den Hauptunterschied zwischen relativistischer und nichtrelativistischer Quantenfeldtheorie gestoßen: Sie brauchen immer den gegenläufigen Begriff in der Relativitätstheorie.

Beispielsweise erfüllt ein nichtrelativistisches Teilchen E = P 2 / 2 M , die bei Quantisierung die Dispersionsrelation angibt ω = k 2 / 2 M . Beschreibt man mehrere solcher Teilchen durch ein Feld, so erfüllt die Heisenbergsche Bewegungsgleichung des Feldes formal die Einteilchen-Schrödinger-Gleichung, was bedeutet, dass ihre Frequenzkomponenten genügen ω = k 2 / 2 M . Die Summe darüber ( ω , k ) Paare ist das, was in Ihrer Vielkörpertheorie-Gleichung ausgeführt wird, wobei die Zeitabhängigkeit darin enthalten ist A k , vorausgesetzt, wir sind im Heisenberg-Bild.

In der Relativitätstheorie eine Beziehung wie E = P 2 / 2 M ist verboten, weil es Zeit und Raum nicht auf die gleiche Stufe stellt. Die einfachste Beziehung, die funktioniert, ist E 2 = P 2 + M 2 was zur Dispersionsrelation wird ω 2 = k 2 + M 2 . Für jeden Wert von k , gibt es zwei gültige Werte von ω , weshalb der Feldoperator zwei Terme hat. Diese Verdoppelung der Werte für ω tritt für jede relativistische Dispersionsrelation auf.

(Natürlich sollte beachtet werden, dass die Existenz positiver und negativer Frequenzlösungen nicht bedeutet, dass die relativistische QFT positive und negative Energieteilchen hat . Aufgrund netter Tricks, die während der Quantisierung durchgeführt werden, die sich für bosonische und fermionische Felder unterscheiden, können Sie machen die Lösungen mit negativer Frequenz entsprechen Teilchen mit positiver Energie, auf Kosten des Umdrehens aller ihrer Ladungen. Deshalb sagt die relativistische QFT Antimaterie voraus.)

Ich finde den letzten Absatz etwas naiv. Die Beschränkung der Energie auf positiv ist perfekt Lorentz-invariant – und tatsächlich hätten wir sonst keine Energiespektren, die von unten begrenzt sind. Der Begriff „negative Energie“ wird wirklich für die Mikrokausalität (Kommutation bei raumartiger Trennung) benötigt. Mikrokausalität zu rechtfertigen ist tatsächlich schwierig; Weinberg z. B. argumentiert, dass es für die Lorentz-Invarianz der erforderlich ist S -Matrix.
In der nicht-relativistischen Theorie gibt es keinen Grund, Mikrokausalität von Feldern zu verlangen, die man verwendet, um die Interaktionsdichte zu konstruieren, und so kann man mit einem einzigen Zeichen davonkommen (dh das nur Erzeugungs- oder Vernichtungsoperatoren enthält).

Es ist eine Frage der 4D- versus 3D-Notation. Der Punkt ist, dass k X = − ω k T + k ⋅ X Und ω k > 0 , also zwei Terme ± k X werden benötigt, um beide Vorzeichen des Vorfaktors von abzudecken T in einer gültigen Lösung der freien relativistischen Feldgleichungen.

Im relativistischen Fall müssen die negativen Energieterme Erzeugungsoperatoren als Koeffizienten haben, um die Kausalität sicherzustellen.

Im nichtrelativistischen Fall müssen die negativen Energieterme weggelassen werden, um eine Äquivalenz zwischen der ersten und der zweiten quantisierten Beschreibung zu haben.

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