Satz von Gell-Mann & Low in der QFT und in der Vielteilchenphysik bei T=0T=0T = 0

Ich konnte nicht umhin zu bemerken, dass die wichtigsten physikalischen Argumente die gleichen sind, wie sie in praktisch allen Büchern über viele Körper zu finden sind, die auf Englisch veröffentlicht wurden. Der Fall endlicher Temperatur ist zumindest im Fall des thermodynamischen Gleichgewichts sehr gut verstanden, aber der T = 0 Fall ist immer noch sehr problematisch. In der Tat beginnt man, beginnend mit Abrikosov et al., und geht durch Pines, Nozieres, Pitaevskii, Fetter usw., mit dem adiabatischen Einschalten der Wechselwirkung zwischen Teilchen und mit dem berühmten Satz von Gell-Mann & Low(GMLT). Dieser Satz ist richtig, garantiert aber nicht, dass man auf diese Weise den wechselwirkenden Grundzustandsvektor (gs) erhält. Das Theorem zeigt zwar NUR, dass man ausgehend von den freien gs einen Eigenvektor des vollen (dh mit Wechselwirkung) Hamiltonoperators erhält, aber es zeigt nicht, dass der entsprechende Energieeigenwert der minimale ist, so dass dieser wechselwirkende Eigenvektor WIRKLICH ist die wechselwirkenden gs darstellen Kann man beweisen, dass der Eigenwert ein Minimum ist, oder muss man das nur POSTULIEREN? Für Anregungen und Literaturhinweise wäre ich sehr dankbar.

Zu Systemen mit Symmetriebrechung nochmals bei T = 0 , wie BEC und BCS, führt man die entsprechenden Kondensate von Hand ein. Im BEC-Fall ist es nicht so schlimm, denn wenn man der GMLT-Konstruktion folgt, beginnend mit den freien gs, gibt es zunächst ein Kondensat für die freien gs (und dies kann mathematisch streng bewiesen werden) für ein freies System . Allerdings muss man noch zeigen, dass freie gs WIRKLICH auf die interagierenden gs abgebildet werden, wie ich bereits gefragt habe. Aber im BCS-Fall gibt es kein Kondensat für das freie System. Man braucht wirklich eine Wechselwirkung, um ein Kondensat zu bilden. Eine Möglichkeit besteht natürlich darin, symmetriebrechende Terme in das freie System einzuführen, aber am Ende, nachdem die thermodynamische Grenze genommen wurde, muss man die Grenze ihrer Stärke (Kopplungskonstante) auf Null setzen. Wie kann man in diesem Fall die GMLT-Konstruktion rechtfertigen? Wie kann man beweisen, dass die Energie minimal ist?

Ich wäre Ihnen sehr dankbar, wenn Sie mir Ihren Einblick und mögliche Antworten auf meine obigen Fragen geben könnten.

Antworten (2)

  1. Die Aussage von Gell-Mann und Low Theorem:

  • Lassen | Ψ 0 ⟩ ein Eigenzustand des nicht-wechselwirkenden Hamiltonoperators sein H 0 mit Energie E 0 und sei der wechselwirkende Hamiltonoperator

    H = H 0 + G v ,
    Wo G eine Kopplungskonstante und ist v der Wechselwirkungsterm. Wir definieren einen Hamiltonoperator
    H ϵ = H 0 + e − ϵ | T | G v ,
    Wo ϵ ein positiver Parameter ist, und dann H ϵ wird effektiv dazwischen interpoliert H Und H 0 .

  • Für die Grenzfälle haben wir

    T → ± ∞ ⇒ H ϵ = H 0 , ϵ → 0 + ⇒ H ϵ = H .

  • Lassen U ϵ ICH bezeichnen den Evolutionsoperator im Wechselwirkungsbild. Der Satz von Gell-Mann und Low behauptet, dass, wenn die Grenze von

| Ψ ϵ ( ± ) ⟩ = U ϵ ICH ( 0 , ± ∞ ) | Ψ 0 ⟩ ⟨ Ψ 0 | U ϵ ICH ( 0 , ± ∞ ) | Ψ 0 ⟩

existiert als ϵ → 0 + ,Dann | Ψ ϵ ( ± ) ⟩ sind Eigenzustände von H .

  • Beachten Sie, dass das Theorem, wenn es beispielsweise auf den Grundzustand angewendet wird, nicht garantiert, dass der entwickelte Zustand immer noch ein Grundzustand ist. Mit anderen Worten, ein Bahnübergang ist nicht ausgeschlossen.

2.Hier ist ein schöner Beweis von Molinario: J . M A T H . P H j S . 48 , 052113 ( 2007 ) .Sie finden dies in den Referenzen für den Satz von Gell Mann und Low auf Wikipedia, die Ihnen weitere Einzelheiten mitteilen.

Hoffe das hilft.

Aber was ist der Unterschied zwischen diesem Theorem und dem allgemeinen adiabatischen Theorem in der Quantenmechanik?

das hat mich auch lange sehr verwirrt. Mein derzeitiges Verständnis ist, dass es keinen wesentlichen Unterschied zwischen GMLT in QFT und AT in QM gibt. Tatsächlich sollte die Idee des adiabatischen Schaltens in QFT sogar noch besser funktionieren. Da die Adiabatie der Streuung fast immer garantiert ist, während keine QM-Experimente eine echte Adiabatie garantieren. Man muss sich also verschiedene Kriterien einfallen lassen, um zu prüfen, ob der Satz zutrifft.

Das Tolle, was Gell Mann und Low gemacht haben, ist, dass durch Einfügen des korrekten Normalisierungsfaktors Beiträge von Vakuumblasen aufgehoben werden, sodass der Ausdruck für den relatanten Zustand nach adiabatischer Zeitentwicklung keine divergente Phase enthält.

Aber ansonsten ist es mit der QM-Version von AT genauso. Tatsächlich hatten Gell Mann und Low nicht bewiesen, dass das interagierende Vakuum aus einem freien Vakuum kommen muss. Aber Kato tat es. Siehe T. Kato, J. Phys. Soc. Jpn \textbf{5}, 435, (1950). Er hat seine große Einsicht, um dynamische Transformation und adiabatische Transformation zu definieren. Und es gelang ihm zu beweisen, dass die beiden unterschiedlichen Arten von Transformationen zusammenfallen, wenn man die adiabatische Grenze (ein ausreichend langsam variierendes H) nimmt. Mit seinem Formilismus konnte das wechselwirkende Vakuum durch adiabatische Entwicklung des freien Vakuums erhalten werden.

Satz von Gell-Mann & Low in der QFT und in der Vielteilchenphysik bei T=0T=0T = 0
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