Hedins Gleichungen und die Grundzustandsenergie

Die Hedin-Gleichungen sind ein iteratives Schema zur Berechnung der Green-Funktion$G$, die Selbstenergie$\Sigma$, der Scheitel$\Gamma$, die Polarisierbarkeit$\chi$, und die gescreente Interaktion$W$.

Gibt es jedoch eine nette Identität, die mir die Grundzustandsenergie nur in Bezug auf gibt$G$,$\Sigma$,$\Gamma$,$\chi$, und/oder$W$?

Ich weiß, dass es Annäherungen an Hedins Gleichungen gibt, wie die GW-Annäherung oder RPA. Dort können wir die Grundzustandsenergie schreiben als:

$$E_0^{\text{RPA}} = \frac{1}{2\pi}\int \text d \omega \; \text{Tr} \ln\big(1-\chi(\text i \omega) V\big),$$ Wo $V$ist der Coulomb-Operator.

Was ist, wenn ich keine Annäherungen mache, sondern Hedins Gleichungen so löse, dass ich alle fünf Größen habe?$G$,$\Sigma$,$\Gamma$,$\chi$, Und$W$(Ich weiß, dass dies im wirklichen Leben nicht möglich ist), wie finde ich die Grundzustandsenergie?

Nur aus der Diagrammatik schätze ich, dass es so etwas sein muss

$$E_0 = G\Sigma$$ oder so... . Kann mir jemand weiterhelfen?

PS: Ich weiß, dass es die Galitskii-Migdal-Formel gibt, so dass ich die Grundzustandsenergie in Form der Green-Funktion schreiben kann. Aber es gibt Operatoren im Integranden, daher ist die Gleichung für eine Implementierung in einen Computercode nicht praktikabel.