Zeitumkehroperator im Tight-Binding-Modell mit zweiter Quantisierungsform

Ausgehend von einigen Hintergrundinformationen aus Wikipedia haben wir festgestellt, dass bei Zeitumkehr die Position unverändert bleibt, während der Impuls das Vorzeichen ändert.

In der Quantenmechanik können wir die Wirkung der Zeitumkehr auf diese Operatoren ausdrücken als$\Theta\,\mathbf{x}\,\Theta^\dagger = \mathbf{x}$Und$\Theta\,\mathbf{p}\,\Theta^\dagger = -\mathbf{p}$. Erwähnenswert ist hier, dass der Zeitumkehroperator,$\Theta$, ist anti -unitary, was es erlaubt, ausgedrückt zu werden als$\Theta = UK$Wo$U$ist einheitlich und$K$ist der komplexe Konjugationsoperator.

Bei den bei der zweiten Quantisierung verwendeten Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren ändert sich das Vorzeichen nach unten$\Theta$würde eine Transformation von vorschlagen$a_r \rightarrow a_r$Und$a_k \rightarrow a_{-k}$. Wenn Sie sich darüber Sorgen machen$k$stellt ein kristallines Momentum und kein echtes Momentum dar. Sie können einfach die Position Transformation nehmen, die vielleicht vertrauenswürdiger ist, und verwenden$a_k = \sum_r \, a_r \,\mathrm{exp}[ -\mathrm{i} k\cdot r]$verifizieren$a_k \rightarrow a_{-k}$direkt.

Mit diesen Transformationen sollten Sie in der Lage sein zu verifizieren, dass der eng bindende Hamiltonoperator unter Zeitumkehr im Orts- und Impulsraum für ein Gitter mit oder ohne Basis invariant ist. Denken Sie daran, dass Sie im Allgemeinen das komplexe Konjugierte der Koeffizienten aufnehmen würden$H$, aber in Ihrem Fall$t$Und$\epsilon_k$sind beide echt. Es ist jedoch wichtig, sich daran zu erinnern, hauptsächlich um sicherzugehen$H$bleibt hermitesch.

Soweit zu Ihrem Kommentar bzgl$\sigma_y$, dies ist nur erforderlich, wenn Sie Spin einbeziehen. Spin ändert also sein Vorzeichen unter Zeitumkehr$\Theta\,\mathbf{S}\,\Theta^\dagger = -\mathbf{S}$. In diesem Fall können wir formell schreiben$\Theta = \mathrm{exp}[-i \pi J_y]\,K$, das ist wahrscheinlich die Beziehung, auf die Sie anspielen.

Laut JJ Sakurais Modern Quantum Mechanics ist das eine mögliche Konvention für die zeitumgekehrten Drehimpulszustände$\Theta | j,m\rangle = (-1)^m |j,-m\rangle$. Dies deutet darauf hin, dass sich die Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren mit Spin-Indizes wie transformieren$a_{r,m} \rightarrow (-1)^m\,a_{r,-m}$Und$a_{k,m} \rightarrow (-1)^m \, a_{-k,-m}$unter Zeitumkehr. Soweit ich weiß, werden die meisten Spin-Hamiltonianer unter dieser Transformation invariant sein. Ein Beispiel, wenn dies nicht der Fall ist, wäre das Vorhandensein eines externen Magnetfelds, das über a an die Spins koppelt$\mathbf{S}\cdot \mathrm{B}-$wie Begriff.

Es ist interessant, wie selbst in Abwesenheit eines externen Felds der Grundzustand von Spin-Hamiltonianern die darin vorhandene Zeitumkehrsymmetrie spontan brechen kann$H$, aber anstatt selbst darüber zu diskutieren , werde ich Sie auf diese sehr gut geschriebene Antwort verweisen .