Warum werden Teilchenlochsymmetrie und chirale Symmetrie als Symmetrien bezeichnet?

P H P − 1 = − H (Teilchen-Loch-Symmetrie) und

Γ H Γ − 1 = − H (chirale Symmetrie)

Ich verstehe, warum wir die negativen Vorzeichen bekommen, aber ich bin nur ein bisschen verwirrt darüber, warum solche Gleichheiten bedeuten H ist teilchenloch- und chiralsymmetrisch.

Wenn wir sagen H ist symmetrisch unter einer Operation, wie Zeitumkehr, meinen wir das nicht normalerweise? H ist unter der genannten Transformation invariant? T H T − 1 = H wenn H ist zeitumkehrsymmetrisch.

Im Gegenteil, sagen wir H unter Teilchenloch und chiralen Operationen symmetrisch ist, wenn H nimmt ein negatives Vorzeichen auf. Dies scheint unserer üblichen Konvention dessen, was wir darunter verstehen, zu widersprechen H symmetrisch (invariant) sein.

Erstere ist eine dynamische Symmetrie im eigentlichen Sinne, da sie ein anti-unitärer Operator ist, also eine Wigner-Symmetrie , und mit dem Hamilton-Operator antikommutiert, wodurch die Zeitentwicklung erhalten bleibt. Letztere ist eine Wigner-Symmetrie , da sie einheitlich ist, aber keine dynamische Symmetrie, da sie die Zeitentwicklung nicht bewahrt (sie kehrt sie um). Der Begriff „Symmetrie“ wird hier also in erweiterter Form verwendet. Es gibt viele Terminologien, die auch inkompatibel sind, und jede Aussage über Symmetrien sollte immer in einer klaren Form geschrieben werden (siehe zum Beispiel die vagen Aussagen über CPT-Symmetrie).

Antworten (1)

Sie werden Symmetrien genannt, weil sie (wenn die Symmetrie vorhanden ist) mit dem zweiten quantisierten Hamilton-Operator pendeln:

H ^ = ∑ EIN B ψ ^ EIN † H EIN B ψ ^ B ,

wo H EIN B sind die Matrixelemente des Einteilchen-Hamiltonoperators:

Zeitumkehr:

T ^ H ^ T ^ − 1 = H ^

Partikelloch:

C ^ H ^ C ^ − 1 = H ^

und chiral

S ^ = C ^ T ^

Die einzigen zusätzlichen Daten, die benötigt werden, um ihre Wirkung auf den Einzelteilchen-Hamiltonian zu erhalten, wie in der Frage geschrieben, ist, wie sie auf die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren implementiert werden:

T ^ ψ ^ EIN T ^ − 1 = ∑ B ( U T ) EIN B ψ ^ B

C ^ ψ ^ EIN C ^ − 1 = ∑ B ( U C ∗ ) EIN B ψ ^ B †

und außerdem, ob sie antieinheitlich sind

T ^ ich T ^ − 1 = − ich

( U T und U C sind unitäre Matrizen)

Bitte lesen Sie die Übersicht von Ludwig (Abschnitte 1-2) und Ryu, Schnyder, Akira und Ludwig (Die große Fußnote nach Gleichung (5)), wo die obigen Bedingungen in die erforderliche Wirkung auf den Einzelteilchen-Hamiltonoperator ausgearbeitet werden, und die weitere Ausarbeitung der diskreten Symmetrieeigenschaften.

Ausarbeitung

Der Fall der Zeitumkehr

Durch Einwirken des Zeitumkehroperators auf den zweiten quantisierten Hamiltonoperator erhalten wir

T ^ H ^ T ^ − 1 = T ^ ψ ^ EIN † T ^ − 1 T ^ H EIN B T ^ − 1 T ^ ψ ^ B T ^ − 1 = ( U T ∗ ) EIN C ψ ^ C † H EIN B ∗ ( U T ) B D ψ ^ D = H ^ = ψ ^ C † H C D ψ ^ D
(Bitte beachten Sie das, wenn T ^ wirkt auf die numerischen Parameter H EIN B , es kehrt das Vorzeichen von um ich und erzeugt das komplexe Konjugat. Daher erhalten wir:

( U T ∗ ) EIN C H EIN B ∗ ( U T ) B D = H C D

das sind die Komponenten der Matrixgleichung:

U T † H ∗ U T = H

Der Fall des Teilchenlochs (Ladungskonjugation) ,

Hier:

C ^ H ^ C ^ − 1 = C ^ ψ ^ EIN † C ^ − 1 C ^ H EIN B C ^ − 1 C ^ ψ ^ B C ^ − 1 = ( U C ) EIN D ψ ^ D H EIN B ( U C ∗ ) B C ψ ^ C † = − ψ ^ C † ( U C t ) D EIN H EIN B ( U C ∗ ) B C ψ ^ D = H ^ = ψ ^ C † H C D ψ ^ D

(Hier die Aktion von C ^ auf den numerischen Parametern H EIN B , ist trivial, weil die Ladungskonjugation ein unitärer Operator ist). Das Minuszeichen ergibt sich aus der Umkehrung der Reihenfolge von ψ und ψ † das sind Grassmann-Variablen. Die letzte Gleichheit entspricht der Matrixgleichung:

− U C t H ( U C ) ∗ = H t

Wenn wir das komplexe Konjugierte beider Seiten nehmen, erhalten wir:

U C † H ∗ U C = − H † = − H

Sollten Sie für die Teilchenlochsymmetrie nicht ein negatives Vorzeichen auf der rechten Seite haben?
C ^ H ^ C ^ − 1 = − H ^
Für die zweite quantisierte Theorie ist das Teilchenloch eine Symmetrie, daher existiert kein Minuszeichen, aber wenn die Wirkung auf den Einzelteilchen-Hamiltonoperator ausgearbeitet wird, erhalten wir das Minuszeichen. Dies ist in den beigefügten Referenzen angegeben.
Ich habe die Ausarbeitung für die Zeitumkehr und Teilchenlochsymmetrien hinzugefügt.
Könnten Sie erläutern, warum die Gleichung (5) in der Arbeit gilt, dh die Art und Weise, wie der zweite quantisierte Operator Ψ EIN wird transformiert. Dies ist für die folgende Diskussion in Ihrer Antwort von wesentlicher Bedeutung. Wie kann ich diese Formel verstehen?
Diese Gleichungen beschreiben Gruppenaktionen. Sie können diese Tatsache beweisen, indem Sie zwei aufeinanderfolgende Transformationen anwenden.
Warum werden Teilchenlochsymmetrie und chirale Symmetrie als Symmetrien bezeichnet?
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