Hat der projizierte Spinzustand des d+idd+idd+id Mean-Field-Hamiltonoperators auf einem dreieckigen Gitter Zeitumkehr(TR)-Symmetrie?

Folgendes berücksichtigen$d+id$Mittelfeld-Hamiltonoperator für ein Spin-1/2-Modell auf einem dreieckigen Gitter

$$H=\sum_{<ij>}(\psi_i^\dagger\chi_{ij}\psi_j+H.c.)$$ , mit $\chi_{ij}=\begin{pmatrix} 0 & \Delta_{ij}\\ \Delta_{ij}^* & 0 \end{pmatrix}$, fermionische Spinone $\psi_i=\binom{f_{i\uparrow}}{f_{i\downarrow}^\dagger}$, und die Mean-Field-Parameter $\Delta_{ij}=\Delta_{ji}$definierten Links haben die gleichen Größen und ihre Phasen unterscheiden sich dadurch $\frac{2\pi}{3}$miteinander bezogen auf die Dreibindungsrichtung.

Meine Frage ist, ist der projizierte Spin-Zustand$\Psi=P\phi$haben die TR Symmetrie? Wo$\phi$ist der mittlere Feldgrundzustand von$H$, Und$P$entfernt die unphysikalischen Zustände mit leeren oder doppelt besetzten Plätzen.

Beachten Sie, dass Sie aus Sicht der Wilson-Schleife überprüfen können, ob die Wilson-Schleife $W_l=tr(\chi_{12}\chi_{23}\chi_{31})=0$auf jeder Dreiecksplakette, daher sind alle Wilson-Schleifen unter der TR-Transformation unveränderlich$W_l\rightarrow W_l^*=W_l$. Somit sollte die TR-Symmetrie aufrechterhalten werden.

Andererseits aus der Sicht von$SU(2)$Gauge-Transformation, falls vorhanden$SU(2)$Matrizen$G_i$so dass$\chi_{ij}\rightarrow\chi_{ij}^*=G_i\chi_{ij}G_j^\dagger$, dann der projizierte Spinzustand$\Psi$ist TR-invariant. Aber bis jetzt kann ich die nicht herausfinden$SU(2)$Matrizen$G_i$. Kann also jeder die explizite Form dieser ausarbeiten$SU(2)$Matrizen$G_i$? Oder gibt es sie gar nicht ?

Vielen Dank im Voraus.

Übrigens fände ich es umständlich, die Staatsform explizit zu schreiben$\Psi$um die TR-Symmetrie zu überprüfen.