(Teilchen-Loch-Symmetrie) und
(chirale Symmetrie)
Ich verstehe, warum wir die negativen Vorzeichen bekommen, aber ich bin nur ein bisschen verwirrt darüber, warum solche Gleichheiten bedeuten ist teilchenloch- und chiralsymmetrisch.
Wenn wir sagen ist symmetrisch unter einer Operation, wie Zeitumkehr, meinen wir das nicht normalerweise? ist unter der genannten Transformation invariant? wenn ist zeitumkehrsymmetrisch.
Im Gegenteil, sagen wir unter Teilchenloch und chiralen Operationen symmetrisch ist, wenn nimmt ein negatives Vorzeichen auf. Dies scheint unserer üblichen Konvention dessen, was wir darunter verstehen, zu widersprechen symmetrisch (invariant) sein.
Sie werden Symmetrien genannt, weil sie (wenn die Symmetrie vorhanden ist) mit dem zweiten quantisierten Hamilton-Operator pendeln:
wo sind die Matrixelemente des Einteilchen-Hamiltonoperators:
Zeitumkehr:
Partikelloch:
und chiral
Die einzigen zusätzlichen Daten, die benötigt werden, um ihre Wirkung auf den Einzelteilchen-Hamiltonian zu erhalten, wie in der Frage geschrieben, ist, wie sie auf die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren implementiert werden:
und außerdem, ob sie antieinheitlich sind
( und sind unitäre Matrizen)
Bitte lesen Sie die Übersicht von Ludwig (Abschnitte 1-2) und Ryu, Schnyder, Akira und Ludwig (Die große Fußnote nach Gleichung (5)), wo die obigen Bedingungen in die erforderliche Wirkung auf den Einzelteilchen-Hamiltonoperator ausgearbeitet werden, und die weitere Ausarbeitung der diskreten Symmetrieeigenschaften.
Ausarbeitung
Der Fall der Zeitumkehr
Durch Einwirken des Zeitumkehroperators auf den zweiten quantisierten Hamiltonoperator erhalten wir
das sind die Komponenten der Matrixgleichung:
Der Fall des Teilchenlochs (Ladungskonjugation) ,
Hier:
(Hier die Aktion von auf den numerischen Parametern , ist trivial, weil die Ladungskonjugation ein unitärer Operator ist). Das Minuszeichen ergibt sich aus der Umkehrung der Reihenfolge von und das sind Grassmann-Variablen. Die letzte Gleichheit entspricht der Matrixgleichung:
Wenn wir das komplexe Konjugierte beider Seiten nehmen, erhalten wir:
Valter Moretti