Bricht das elektrische Feld die diskrete Translationssymmetrie oder nicht?

Um ein Problem mit einem elektrischen Feld in einem Gitter zu lösen, kann man sich den folgenden Hamiltonoperator ansehen:

H = P 2 2 M + E X
. Dieser Hamiltonoperator respektiert jedoch keine diskrete Translationssymmetrie. Daher wird in einigen Literaturstellen dieser Hamiltonoperator verwendet:
H = ( P − e A ) 2 2 M
, Wo A ist zeitabhängig und ist A = E T . Auf diese Weise wird eine diskrete Translationssymmetrie bewahrt.

Ich denke jedoch, ob ein Hamiltonian eine Translationssymmetrie hat, ist eine physikalische Sache und sollte sich nicht mit dem Messgerät ändern. Dann verwirrt mich der obige Formalismus wirklich. Irgendwelche Kommentare?

Antworten (1)

Die physikalische Aussage ist, dass der Hamiltonoperator bis zu Eichtransformationen translationsinvariant ist . Messtransformationen beziehen sich auf zwei verschiedene Beschreibungen desselben physikalischen Systems, sodass ein System, das diese Eigenschaft erfüllt, aus physikalischer Sicht translationsinvariant ist. Diese Eigenschaft gilt tatsächlich für beide in der Frage angegebenen Hamiltonianer. Für den ersten Hamilton-Operator stellen wir fest, dass eine Übersetzung X → X + A ist dasselbe wie das Verschieben des Skalarpotentials um eine Konstante: E X → E X + E A , und eine konstante Verschiebung des Skalarpotentials kann durch eine Eichtransformation ausgedrückt werden. Erinnern Sie sich an eine allgemeine Eichtransformation für das Eichpotential ( φ , A ) Ist

φ → φ + ∂ T F , A → A − ∇ F
für irgendeine Funktion F ( R , T ) . In diesem Fall setzen wir F = E A T .

Nun ist es aus praktischen Gründen bequemer, eine Eichung zu wählen, in der der Hamilton-Operator genau translationsinvariant ist, nicht nur bis zu Eichtransformationen. Dies ist für ein homogenes elektrisches Feld möglich, aber nicht allgemein. Tatsächlich ist leicht ersichtlich, dass es für ein gleichförmiges Magnetfeld kein solches Maß gibt. (Tatsächlich gibt es im Fall eines gleichförmigen elektrischen Felds auch ein Problem in dem Sinne, dass wir eine explizite räumliche Translationssymmetrie auf Kosten der Unterbrechung der expliziten zeitlichen Translationssymmetrie erhalten haben.)

Können Sie die daraus resultierende Gauge-Transformation explizit anzeigen? E X → E X + E A ?
@ChongWang Ich habe es oben hinzugefügt.
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