Symmetrie des 2d anisotropen Heisenberg-Modells?

Ich bin verwirrt über die Symmetrien des 2d anisotropen Heisenberg-Modells. Der Hamiltonoperator ist:

(1) H = − ∑ ⟨ ich , J ⟩ ( J X S ich X S J X + J j S ich j S J j )
Ich habe gelesen (Quelle nicht öffentlich zugänglich), dass dies Symmetrie hat Z 2 . Dem stimme ich zwar zu - ich denke nicht, dass dies die vollständige Symmetrie ist. Denn soweit ich das beurteilen kann, haben wir die folgenden Symmetriegeneratoren:

  • Drehung um z Achse durch π .
  • Reflexion über X z Ebene
  • Reflexion über j z Ebene

was nicht einfach zu sein scheint Z 2 .

Meine Frage ist daher: Welche Symmetrie hat der Hamiltonoperator (1)?

Dies würde üblicherweise als anisotropes XY-Modell bezeichnet werden, da es keins gibt S z S z Kopplung (die "Dimensionalität" des Heisenberg-Modells bezieht sich normalerweise auf die Anzahl der Dimensionen im Realraum, nicht im Spin-Raum).

Antworten (1)

Kurze Antwort

Ja, die Symmetriegruppe ist dann größer Z 2 und ist k 4 ≅ Z 2 × Z 2 . Aber die Grundzustände sind nur durch verwandt Z 2 und es ist diese Symmetrie, die bei spontaner Symmetriebrechung gebrochen wird.

Lange Antwort

Betrachten wir die einzelnen in der Frage genannten Symmetriegruppen und deren Generatoren:

  • Drehung um z Achse durch π : Dies hat einen einzigen Generator, gegeben durch:
    π z = ( − 1 0 0 − 1 )
  • Reflexion über X z Flugzeug: Dies hat einen einzigen Generator, gegeben durch:
    R j = ( 1 0 0 − 1 )
  • Reflexion über j z Flugzeug: Dies hat einen einzigen Generator, gegeben durch:
    R X = ( − 1 0 0 1 )

Beachten Sie das seit R X = π z R j = R j π z die totale Symmetriegruppe ist gegeben durch:

⟨ π z , R j ⟩ ≅ k 4 ≅ Z 2 × Z 2
Wo k 4 ist die Klein-Vier-Gruppe.

Nun stellen wir fest, dass die Grundzustände (sagen wir alle Spins in der + X oder − X Richtung) werden vom Generator bezogen π z und damit die Gruppe ⟨ π z ⟩ ≅ Z 2 . Während der Generator R 2 lässt die Grundzustände invariant. So ist es dies ⟨ π z ⟩ ≅ Z 2 worüber das obige wahrscheinlich spricht. Wir könnten diese Gruppe auch als durch die Rotationen erzeugt ansehen R X da diese durch eine Transformation in Beziehung stehen, die die Grundzustände invariant lässt - nämlich R j .

Als Randnotiz spontane Symmetrie des Generators π z (oder R X ) wird gebrochen und hinterlässt das System mit einer Symmetrie ⟨ R j ⟩ ≅ Z 2 .

Außerdem dürfen Sie den Raumgruppenteil der Hamiltonschen Symmetriegruppe nicht vergessen.
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