Wie können wir beweisen, dass die Korrelationsfunktion nur von der räumlichen Differenz abhängt, wenn der Hamilton-Operator translationsinvariant ist?

Question

Wie können wir beweisen, dass die Korrelationsfunktion nur von der räumlichen Differenz abhängt, wenn der Hamilton-Operator translationsinvariant ist?

Ambrosius Chau

Wenn $H$ ein translationsinvarianter Hamiltonoperator ist, wie kann ich mich davon überzeugen, dass die Korrelationsfunktion (auf dem Grundzustand $\left|G\right\rangle$ ) $\left\langle G|\psi(x)\psi(x’)|G\right\rangle$ hängt nur davon ab $x-x’$ .

Wie ist der Feldoperator $\psi(x)$ bezüglich $\psi(0)$ sowieso durch den Übersetzungsoperator? Wie ist der Übersetzungsoperator in der zweiten Quantisierung definiert?

Chirale Anomalie

Der unitäre Übersetzungsoperator

U (x)

$U(x)$ wird durch die Bedingung definiert

U (x) ψ (0) U^{†} (x) = ψ (x)

$U(x)\psi(0)U^\dagger(x)=\psi(x)$ , Und

U (x) U (x^{'}) = U (x + x^{'})

$U(x)U(x')=U(x+x')$ , und da der Grundzustand eines translationsinvarianten Hamiltonoperators dazu neigt, translationsinvariant zu sein (wobei die Möglichkeit einer spontanen Symmetriebrechung ignoriert wird, die zu einem kristallinen Grundzustand führt), bedeutet dies

U (x) | G ⟩ \propto | G ⟩

$U(x)|G\rangle\propto |G\rangle$ . Diese Dinge können verwendet werden, um zu beweisen, dass die Korrelationsfunktion nur von abhängt

x - x^{'}

$x-x'$ . Oder fragen Sie nach einem expliziten Ausdruck für

U (x)

$U(x)$ in Bezug auf die Feldoperatoren?

Ambrosius Chau

Ich bin mir nicht sicher, wie ich das beweisen soll

U (x) ψ (0) U^{†} (x) = ψ (x)

$U(x)\psi(0)U^\dagger(x)=\psi(x)$ . Und wie man sich ausdrückt

U (x)

$U(x)$ auch in Bezug auf die Feldbetreiber. Ich weiß in der ersten Quantisierung,

U (x) = \exp (- i x \hat{p} / ℏ)

$U(x)=\exp(-ix\hat{p}/\hbar)$ . Aber in welcher Weise können wir darüber sprechen

\hat{p}

$\hat{p}$ in zweiter Quantisierung?

Chirale Anomalie

Die Beziehung

U (x) ψ (0) \tilde{U} (x) = ψ (x)

$U(x)\psi(0)\tilde U(x)=\psi(x)$ ist nichts zu beweisen. Das bedeutet "Übersetzungsoperator". Es ist nur eine Definition, genau wie in der nicht-relativistischen Quantenmechanik ("erste Quantisierung"). Zu beweisen ist, wie der Operator, der diese Eigenschaft hat, durch die Feldoperatoren ausgedrückt werden kann ("zweite Quantisierung" = Quantenfeldtheorie). Darauf schreibe ich eine Antwort...

Antworten (1)

Wie können wir beweisen, dass die Korrelationsfunktion nur von der räumlichen Differenz abhängt, wenn der Hamilton-Operator translationsinvariant ist?

Der unitäre Übersetzungsoperator $U(x)$ wird durch die Bedingung definiert $U(x)\psi(0)U^\dagger(x)=\psi(x)$ , Und $U(x)U(x')=U(x+x')$ , und da der Grundzustand eines translationsinvarianten Hamiltonoperators dazu neigt, translationsinvariant zu sein (wobei die Möglichkeit einer spontanen Symmetriebrechung ignoriert wird, die zu einem kristallinen Grundzustand führt), bedeutet dies $U(x)|G\rangle\propto |G\rangle$ . Diese Dinge können verwendet werden, um zu beweisen, dass die Korrelationsfunktion nur von abhängt $x-x'$ . Oder fragen Sie nach einem expliziten Ausdruck für $U(x)$ in Bezug auf die Feldoperatoren?
Ich bin mir nicht sicher, wie ich das beweisen soll $U(x)\psi(0)U^\dagger(x)=\psi(x)$ . Und wie man sich ausdrückt $U(x)$ auch in Bezug auf die Feldbetreiber. Ich weiß in der ersten Quantisierung, $U(x)=\exp(-ix\hat{p}/\hbar)$ . Aber in welcher Weise können wir darüber sprechen $\hat{p}$ in zweiter Quantisierung?
Die Beziehung $U(x)\psi(0)\tilde U(x)=\psi(x)$ ist nichts zu beweisen. Das bedeutet "Übersetzungsoperator". Es ist nur eine Definition, genau wie in der nicht-relativistischen Quantenmechanik ("erste Quantisierung"). Zu beweisen ist, wie der Operator, der diese Eigenschaft hat, durch die Feldoperatoren ausgedrückt werden kann ("zweite Quantisierung" = Quantenfeldtheorie). Darauf schreibe ich eine Antwort...

Chirale Anomalie · Answer 1

Betrachten Sie die einfachste QFT, nämlich das freie Skalarfeld. Die Bewegungsgleichung (im Heisenberg-Bild) lautet

\begin{matrix} (1) & (\partial_{T}^{2} - \nabla^{2} + M^{2}) ϕ (T, X) = 0 \end{matrix}

$(\partial_t^2-\nabla^2 +m^2)\phi(t,\mathbf{x})=0 \tag{1}$ und die zeitgleichen Kommutierungsbeziehungen sind

\begin{matrix} [ϕ (T, X), \dot{ϕ} (T, j)] = ich δ^{3} (X - j) \\ (2) & [ϕ (T, X), ϕ (T, j)] = 0 [\dot{ϕ} (T, X), \dot{ϕ} (T, j)] = 0. \end{matrix}

$\begin{gather} [\phi(t,\mathbf{x}),\,\dot\phi(t,\mathbf{y})] =i\delta^3(\mathbf{x}-\mathbf{y}) \\ [\phi(t,\mathbf{x}),\,\phi(t,\mathbf{y})]=0 \hskip2cm [\dot\phi(t,\mathbf{x}),\,\dot\phi(t,\mathbf{y})]=0. \tag{2} \end{gather}$ Wir wollen einen unitären Operator konstruieren

U (x)

$U(\mathbf{x})$ das befriedigt

\begin{matrix} (3) & U (X) ϕ (T, 0) U^{†} (X) = ϕ (T, X), \end{matrix}

$U(\mathbf{x})\phi(t,\mathbf{0})U^\dagger(\mathbf{x})= \phi(t,\mathbf{x}), \tag{3}$ das ist die Definition des Übersetzungsoperators. Die Impulsoperatoren

P_{k}

$P_k$ sind die hermiteschen Generatoren der Übersetzungsgruppe (per Definition wieder), also

\begin{matrix} (4) & U (X) = \exp (ich X \cdot P) X \cdot P \equiv \sum_{k} X_{k} P_{k} . \end{matrix}

$U(\mathbf{x})=\exp(i\mathbf{x}\cdot \mathbf{P}) \hskip2cm \mathbf{x}\cdot \mathbf{P}\equiv\sum_k x_k P_k. \tag{4}$ in Einheiten wo

ℏ = 1

$\hbar=1$ . Nehmen Sie die Steigung von (3) in Bezug auf

x_{k}

$x_k$ zu bekommen

\begin{matrix} (5) & [P_{k} ϕ (T, X)] = - ich \nabla_{k} ϕ (T, X) . \end{matrix}

$[P_k\,\phi(t,\mathbf{x})]=-i\nabla_k\phi(t,\mathbf{x}). \tag{5}$ Dies ist die definierende Eigenschaft der Operatoren

P_{k}

$P_k$ . Was wir jedoch wollen, ist ein expliziter Ausdruck für

P_{k}

$P_k$ in Bezug auf die Feldoperatoren. Im Allgemeinen können wir den Satz von Noether verwenden, um einen Ausdruck für zu erhalten

P_{k}

$P_k$ in Bezug auf die Feldoperatoren. Oder, anstatt den Satz von Noether durchzugehen, können wir einen Ansatz aufschreiben und dann beweisen, dass er funktioniert. (Der zweite Ansatz ist einfacher, wenn wir die Antwort bereits kennen, und da ich die Antwort bereits kenne, werde ich hier den zweiten Ansatz verwenden.) Die Kommutierungsbeziehungen (2) implizieren, dass der Operator

\begin{matrix} (6) & P_{k} = \int D^{3} X \dot{ϕ} (T, X) \nabla_{k} ϕ (T, X) \end{matrix}

$P_k=\int d^3x\ \dot\phi(t,\mathbf{x})\nabla_k \phi(t,\mathbf{x}) \tag{6}$ hermitesch ist und die Bedingung (5) erfüllt, also funktioniert dieser Ansatz. Gleichung (6) drückt die Impulsoperatoren in Form der Feldoperatoren aus, und dann gibt Gleichung (4) die Translationsoperatoren an. Wenn die Feldoperatoren in Form der üblichen Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren geschrieben werden, wird (6) zu

\begin{matrix} (7) & P_{k} \propto \int D^{3} P P_{k} A^{†} (P) A (P) . \end{matrix}

$P_k\propto \int d^3p\ p_k a^\dagger(\mathbf{p})a(\mathbf{p}). \tag{7}$ Die Post

Ableitung des Gesamtimpulsoperators QFT

schreibt diesen letzten Schritt etwas expliziter aus. Siehe auch Gleichung (2.21) in

"Kapitel 2: Quantisierung des Skalarfeldes" ( http://cftp.ist.utl.pt/~gernot.eichmann/2015-qft ),

Dies ist eine der ersten Quellen, die ich bei einer schnellen Suche nach "Impulsoperator in QFT" gefunden habe.

Die vorstehenden Gleichungen erklären, wie man ausdrückt $U(\mathbf{x})$ in Bezug auf die Feldoperatoren. Um die ursprüngliche Frage zu beantworten, warum die Zweipunkt-Korrelationsfunktion translationsinvariant ist, benötigen wir nur die Gleichungen (3) und (4) zusammen mit der Annahme, dass der Grundzustand $|G\rangle$ ist translationsinvariant: $U(\mathbf{x})|G\rangle=|G\rangle$ . Das gibt

\begin{aligned} ⟨ G | ϕ (X) ϕ (X^{'}) | G ⟩ & = ⟨ G | U (X) ϕ (0) U^{†} (X) U (X^{'}) ϕ (0) U^{†} (X^{'}) | G ⟩ \\ = ⟨ G | ϕ (0) U (X^{'} - X) ϕ (0) | G ⟩, \end{aligned}

$\begin{align} \langle G|\phi(\mathbf{x})\phi(\mathbf{x'})|G\rangle &= \langle G|U(\mathbf{x})\phi(\mathbf{0})U^\dagger(\mathbf{x}) U(\mathbf{x'})\phi(\mathbf{0})U^\dagger(\mathbf{x'})|G\rangle \\ &= \langle G|\phi(\mathbf{0}) U(\mathbf{x'}-\mathbf{x})\phi(\mathbf{0})|G\rangle, \end{align}$ was zeigt, dass die Korrelationsfunktion nur von abhängt

x^{'} - x

$\mathbf{x'}-\mathbf{x}$ .

Wie können wir beweisen, dass die Korrelationsfunktion nur von der räumlichen Differenz abhängt, wenn der Hamilton-Operator translationsinvariant ist?

Ambrosius Chau

Chirale Anomalie

Ambrosius Chau

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Chirale Anomalie

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