Was sind die physikalischen Implikationen des Isomorphismus zwischen SO(2)SO(2){\rm SO}(2) und R/ZR/Z\mathbb{R}/\mathbb{Z}?

Im$d\ge 3$, die erste Homotopiegruppe von$\mathrm{SO}^+(1,d)$ist$\mathbb Z_2$, was im Wesentlichen zu einer Spinquantisierung führt. Im$d=2$, und wegen$\mathrm{SO}(2)\sim\mathbb R/2\pi\mathbb Z$, wir haben$\pi_1(\mathrm{SO}^+(1,d))=\mathbb Z$, und deshalb haben wir keine Spinquantisierung mehr. Teilchen werden nicht mehr in Bosonen vs. Fermionen klassifiziert, aber sie können irgendwelche Statistiken haben. Wir können irgendwelche finden , die zu einer sehr reichhaltigen Phänomenologie führen (denken Sie an den fraktionierten Quanten-Hall-Effekt usw.).

Denken Sie daran, dass der Spin von den projektiven Darstellungen der kleinen Gruppe kommt, nämlich$\mathrm{SO}(d)$. Anders als in höheren Dimensionen, in$d=2$wir haben das$\mathrm{Spin}(d)$ist nicht die universelle Abdeckung von$\mathrm{SO}(d)$; in der Tat,$\widehat{\mathrm{SO}}(2)=\mathbb R$, was nicht kompakt ist. Wir benötigen somit nicht mehr$U(4\pi)=1$, sodass der Spin keine halbe ganze Zahl mehr ist. Spaß!

Die Unterscheidung zwischen den Gruppen$\mathbb R$und$\mathbb R/\mathbb Z\cong SO(2)\cong S^1$ist topologisch, daher ist es in topologischen Aspekten von Feldtheorien relevant.

Ein klassisches Beispiel für ein zweidimensionales System, in dem dieses Zeug wichtig ist, ist das Abelian-Higgs-Modell, das in der Physik der kondensierten Materie (nicht relativistisch) und der Hochenergiephysik (relativistisch) vorkommt. Diese besteht im Wesentlichen in einer Eichfeldtheorie mit lokaler Symmetriealgebra$\mathfrak u(1)$und Eichsymmetrie, die spontan zum Identitätselement gebrochen ist$e$durch ein komplexes Skalarfeld (Higgs). Wenn die Eichsymmetriegruppe ist$\mathbb R/\mathbb Z\cong SO(2)\cong S^1$dann liefern die statischen endlichen Energiekonfigurationen Karten$\phi:S^1\rightarrow S^1$vom Kreis im Unendlichen zum Vakuumverteiler$SO(2)/e\cong SO(2)\cong S^1$, das ist ein weiterer Kreis. Die Fundamentalgruppe des zweiten Kreises,$\pi_1(S^1)$, ist nicht trivial: Da wir den ersten Kreis einmal abdecken, kann das Bild den zweiten Kreis abdecken$n$mal, mit daher Windungszahl $n$. Karten mit unterschiedlicher Windungszahl können nicht stetig ineinander verformt werden, sie sind nicht homomorph. Alle homomorphen Abbildungen befinden sich in derselben Äquivalenzklasse und sind einem Element der Fundamentalgruppe zugeordnet. Deswegen$\pi_1(S^1)\cong\mathbb Z$. Die physikalische Implikation von all dem ist einfach: Da Karten mit unterschiedlichen Windungszahlen nicht homomorph sind, können die zugehörigen Skalarfelder nicht ineinander zerfallen. Dadurch entstehen stabile Konfigurationen wie Wirbel, die experimentell in der Supraleitung in Form der Abrikosov-Wirbellinien verifiziert und in Grand Unified Theories als kosmische Saiten vorhergesagt werdenwas kosmologische Implikationen haben könnte, wie etwa bei der Entstehung von Galaxien. Es kann auch beim Quark-Confinement-Problem relevant sein, wo die topologischen Konfigurationen als Flussröhren bezeichnet werden (beachten Sie, dass in allen drei Beispielen die Konfiguration in eine andere Raumdimension erweitert wird, aber die gesamte topologische Relevanz im zweidimensionalen Abschnitt liegt). Auf der anderen Seite, wenn wir nur die Topologie der Eichgruppe ändern und sagen, dass dies der Fall ist$\mathbb R$, dann schauen wir uns die Konfigurationen an, die mit verbunden sind$\phi:S^1\rightarrow \mathbb R$. Aber da alle geschlossenen Kurven drin sind$\mathbb R$auf Punkt geschrumpft werden können, sind alle homomorph, dh$\phi(\mathbb R)= e$. Physikalisch bedeutet dies, dass alle Konfigurationen ins Vakuum zerfallen können, daher gibt es keine stabilen Wirbel.

Wenn Sie eine gute Einführung über topologische Lösungen in der Feldtheorie lesen möchten, einschließlich Diskussionen über Homotopiegruppen, das Abelian-Higgs-Modell und Wirbel, können Sie Kapitel 3 (im speziellen Abschnitt 3.3) von Cosmic Strings and Other Topological Defects von Vilenkin und Shellard lesen .