Warum heißt die projektive Symmetriegruppe (PSG) projektiv?

Es hängt davon ab, welche Gruppe Sie als Ausgangspunkt betrachten, und das hängt vom Kontext ab.

Ein Kontext ist der mathematische (vergessen Sie alles, was Sie über Spins wissen usw.), wo wir mit dem Vektorraum beginnen$\mathbb C^2$und die natürliche Wirkung von$SU(2)$darauf. Betrachten wir dann den projektiven Vektorraum$\mathbb C^2/\mathbb C^* = \mathbb CP^1$, dann die Aktion von$SU(2)$wird von gegeben$PSU(2) = SU(2)/ \mathbb Z_2$. Since this group now acts on the projective vector space, we can call it a projective group.

In the physical context--in the case of rotation symmetry--our starting group is not $SU(2)$ but rather $SO(3)$. The way this acts on the Hilbert space of a spin $1/2$Partikel ist durch eine schöne lineare Darstellung$\rho: SO(3) \to \mathbb CP^1$(Dies ist tatsächlich die Identitätskarte, da Sie, wie Sie darauf hinweisen,$\mathbb CP^1 \cong SO(3)$!). Physiker denken jedoch nicht wirklich gerne über projektive Hilbert-Räume nach, und deshalb ziehen wir es vor, unsere Symmetrie so zu betrachten, dass sie auf den linearen Hilbert-Raum wirkt:$\tilde \rho : SO(3) \to \mathbb C^2$. Es stellt sich jedoch heraus, dass das Beste, was Sie tun können, das ist$\rho$ist eine projektive Darstellung (d. h. die Gruppenstruktur wird nur bis zu einem komplexen Skalar berücksichtigt). Daher können Sie sagen, dass wir den projektiven Hilbert-Raum gegen eine projektive Gruppenaktion eingetauscht haben . Auch hier denken Physiker nicht gerne über projektive Darstellungen nach, und so verwenden wir stattdessen die lineare Darstellung der bedeckenden Gruppe. In der Tat, wenn wir zuerst verlängern$SO(3)$Zu$SU(2)$dann kann es linear auf den linearen Raum einwirken $\mathbb C^2$.

Ich bin sicher, Sie wissen, dass wir das deshalb verwenden$SU(2)$anstatt$SO(3)$, aber ich wollte die Argumentation explizit durchgehen, um zu zeigen, dass unsere ursprüngliche Symmetriegruppe ist$SO(3)$, aber da die Verwendung davon später zu „Projektivität“ führt (entweder im Raum oder in der Art und Weise, wie sie wirkt), verwenden wir stattdessen die erweiterte Symmetriegruppe$SU(2)$, die wir die projektive Symmetriegruppe unseres Systems nennen können, da sie alle projektiven Realisierungen unserer ursprünglichen Symmetriegruppe codiert.

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Fazit: Es ist nicht so, dass ein Name besser ist als der andere, und Sie haben Recht, wenn Sie bemerken, dass sie nicht über dasselbe sprechen, es hängt nur vom Kontext ab, wenn Sie das Etikett „projektiv“ verwenden. Im ersteren Fall nennen wir es die projektive Gruppe, da dies die Art und Weise ist, wie die ursprüngliche Gruppe auf den projektiven Vektorraum einwirkt. Im letzteren Fall könnten wir die erweiterte Symmetriegruppe projektiv nennen, weil ihre (linearen) Darstellungen allen projektiven Darstellungen unserer ursprünglichen Symmetriegruppe entsprechen.