Ordnungsparameter und Mittelwerte?

Question

Ordnungsparameter und Mittelwerte?

Quanten-Spaghettifizierung

Ich bin verwirrt über Mittelwerte und Ordnungsparameter in der speziellen Ginzburg-Landau-Theorie. Von dem, was ich gelesen habe $^1$ Der Ordnungsparameter ist im Allgemeinen gegeben durch:

\begin{matrix} (1) & ϕ = {⟨ M ⟩}_{β} \end{matrix}

$\phi=\left<m\right>_\beta\tag{1}$ Wo

m

$m$ ist eine Größe, die unter der spontanen Symmetrie, die wir zu brechen suchen, nicht unveränderlich ist.

Beispiel: Für den Phasenübergang in Flüssigkristallen nehmen wir oft $Q=\left<n_in_j-\delta_{ij}/3\right>_\beta$ als Auftragsparameter.

Die Zustandssumme ist dann gegeben durch:

\begin{matrix} (2) & Z = \int D ϕ e^{- β F [ϕ]} \end{matrix}

$Z=\int \mathcal{D} \phi e^{-\beta F[\phi]} \tag{2}$ Wo

F [ϕ]

$F[\phi]$ ist die freie Energie.

Jedoch:

(A) Einerseits

Es wird gesagt, dass der Bestellparameter $\phi$ geht in der ungeordneten Phase gegen Null und in der geordneten Phase ungleich Null. Dies weist darauf hin, dass der Durchschnitt in (1) benötigt wird – andernfalls würde diese Aussage von der spezifischen Konfiguration abhängen, die sich aufgrund thermischer Schwankungen ändert.

(B) Andererseits

Ausdruck (1) in (2) zu setzen, macht wenig Sinn - Sie nehmen effektiv zweimal einen thermischen Durchschnitt.

Meine Frage lautet also wie folgt: Übersehe ich etwas, was bedeutet, dass (A) und (B) tatsächlich miteinander kompatibel sind? Oder ist es der Fall, dass wir in (2) tatsächlich eine nichtthermisch gemittelte Version des Ordnungsparameters haben – wenn dies der Fall ist, wenn wir „Ordnungsparameter“ sagen, ist es üblich, die gemittelte oder nicht gemittelte Version zu meinen.

_{$^1$ Quelle nicht öffentlich zugänglich - ich werde versuchen, nach einer zu suchen.}

Antworten (3)

Ordnungsparameter und Mittelwerte?

Adam · Answer 1

Das OP verwechselt zwei sehr unterschiedliche Größen, das fluktuierende Feld $m$ , die über integriert wird (das heißt, wir mitteln über alle möglichen Konfigurationen von $m$ ) und der Durchschnitt dieses Feldes $\phi = \langle m\rangle$ .

Offensichtlich können diese beiden Größen nicht dasselbe sein, und wir können sehr gut haben $\phi=0$ wenn man den Durchschnitt aller möglichen macht $m$ .

Für einen gegebenen Hamiltonoperator $H$ , die Partitionsfunktion ist

Z = \int D M e^{- β H [M]},

$Z=\int \mathcal D m\, e^{-\beta H[m]},$ und der Bestellparameter ist

ϕ = \frac{1}{Z} \int D M M e^{- β H [M]} .

$\phi =\frac1Z\int \mathcal D m\, m\,e^{-\beta H[m]}.$

Der Grund, warum das OP verwirrt ist, ist, dass die Leute auf der Mittelfeldebene dazu neigen, dies zu sagen $m$ ist der Auftragsparameter. Die Begründung ist folgende. Lass uns anrufen $m_0$ die Konfiguration des Feldes $m$ so dass $\frac{\delta H}{\delta m}|_{m_0}=0$ . Dann eine Sattelpunktnäherung weiter $Z$ gibt

Z_{M F} = e^{- β H [M_{0}]},

$Z_{MF}=e^{-\beta H[m_0]},$ und damit eine Freie Energie

F_{M F} = - T \ln Z_{M F} = H [m_{0}]

$F_{MF}=-T\ln Z_{MF}=H[m_0]$ . Und wir haben auch innerhalb dieser Annäherung

ϕ_{M F} = m_{0}

$\phi_{MF}=m_0$ .

Beachten Sie, dass es nicht die freie Energie ist, die minimiert wurde, um sie zu finden $m_0$ , Aber $H$ , obwohl sie auf dieser Annäherungsebene eng miteinander verwandt sind. In der Tat, $F$ hängt nie funktional vom Ordnungsparameter ab, sondern von seinem konjugierten Feld $h$ (ein magnetisches Feld zum Beispiel, so dass $\beta H\to \beta H-h.m$ ).

Wenn man über eine Funktion sprechen möchte, die vom Ordnungsparameter abhängt $\phi$ , ist es besser, die Legendre-Transformation von einzuführen $F$ gegenüber $h$ , nennen $G$ , das ist

G [ϕ] = F [H] + H . ϕ .

$G[\phi]=F[h]+h.\phi.$ Wenn wir genau rechnen würden

Z [h]

$Z[h]$ (und somit

F [h]

$F[h]$ ) und genau berechnen

G [ϕ]

$G[\phi]$ , Dann

G [ϕ]

$G[\phi]$ wäre das richtige zu minimierende Funktional, um den Gleichgewichtswert des Ordnungsparameters zu finden.

Auf der Mittelfeldebene findet man jedoch $G_{MF}[\phi]=H[m=\phi]$ , was offensichtlich das Minimum für ist $\phi=\phi_{MF}=m_0$ .

Leider werden diese in der Literatur oft vermischt, besonders wenn es um die Mean-Field-Physik geht. All diese Größen sind jedoch, wie hier gezeigt, konzeptionell sehr unterschiedlich.

Tsufli · Answer 2

Konzentrieren wir uns der Einfachheit halber auf das Ising-Modell.

In 2), $\phi$ ist im Sinne: "Wähle eine mikroskopische Konfiguration von Spins und berechne die durchschnittliche Magnetisierung" und dann die "effektive freie Energie" $F$ kapselt die Information über das Zählen, wie viele mikroskopische Konfigurationen die gleiche durchschnittliche Magnetisierung haben. Ausdrücklich:

$Z=\sum _{\phi}\sum _{<s>=\phi }e^{-\beta E(s)}\equiv \sum _{\phi}e^{-\beta F(\phi )}$

Wobei s eine mikroskopische Konfiguration bezeichnet. (also in der Tat, die $\phi$ in (2) ist nicht thermisch gemittelt, sondern gemittelte Magnetisierung über eine mikroskopische Konfiguration)

Schwankungen werden rechnerisch berücksichtigt $<s>$ über einen Block einer bestimmten Größe statt über das gesamte Gitter und Summieren über die Konfiguration mit einem bestimmten Wert $\phi(x)$ für diese Durchschnittswerte. Die Zustandssumme wird dann durch ein funktionales Integral gegeben:

$Z=\int D\phi (x)e^{-\beta F(\phi (x))}$

Man könnte die "thermodynamische" Magnetisierung m rekonstruieren, indem man eine Sattelpunktnäherung an die Zustandssumme durchführt, und ein Minimum von finden $F$ , was die wahrscheinlichste Magnetisierung sein wird. Wenn der Sattelpunkt approx gilt und wir Schwankungen vernachlässigen können, könnte man sagen, dass das System magnetisiert ist $m$ .

Ich empfehle David Tongs Lectures on Statistical Field Theory Kapitel 1 für eine Diskussion zu diesem Thema. (Online verfügbar)

Ok, ich bin immer noch etwas verwirrt über dieses Thema. In dem Beispiel habe ich mit Bestellparameter angegeben $Q=\left<n_in_j-\delta_{ij}/3\right>_\beta$ Was ist der „Ordnungsparameter“, den wir in der freien Energie der Ginzburg-Landau-Theorie verwenden?
Der Auftragsparameter wäre das lokale Feld $Q_{ij}(x)=n_i(x)n_j(x)-\delta_{ij}/3$ , Wo $n(x)$ ist als lokaler Durchschnitt definiert, wie in meiner Bemerkung zu Schwankungen erläutert.
Hier gibt es tatsächlich mehr Feinheiten - aufgrund der Tatsache, dass das Umdrehen der Stangen zu denselben Konfigurationen führt, also $n$ identifiziert sich mit $-n$ Und $n$ als ein Element des projektiven Raums gedacht werden sollte $\mathbb{R}P^{2}$ , und nicht $S^{2}$ wie man naiv denken könnte.

Physhyp · Answer 3

Oder Parameter ist ein Mittelwert von etwas, das sich von System zu System etwas ändert. Jetzt ist die Frage, es ist ein Mittelwert, aber in Bezug auf was?

Dies ist eine wichtige Frage, der Ordnungsparameter wird unter Verwendung der Mean-Field-Approximation berechnet. Wenn Sie eine Mean-Field-Approximation durchführen, nehmen Sie nicht blind einen Mittelwert Ihres Etwas über alle möglichen Zustände. Sie wählen bestimmte Zustände, wenn Sie den Mittelwert nehmen, weshalb die Annäherung an das mittlere Feld eher eine Kunst als eine einfache Methode ist.

Lassen Sie uns also ein Beispiel geben. Der Elektronenoperator für die Impulsdarstellung ist gegeben als

ρ (Q) = \sum_{k} C †_{k} C_{k + Q}

$\rho (q)=\sum_{k}c{\dagger}_{k}c_{k+q}$ Wenn Sie davon einen thermischen Durchschnitt nehmen, werden Sie Null finden. so würden wir feststellen, dass Kristalle nicht existieren.

aber das ist nicht wahr, dass Kristalle existieren, da geht etwas Tieferes vor sich, und es ist ein spontaner Symmetriebruch. Wenn Sie den thermischen Durchschnitt nehmen, mitteln Sie über alle möglichen Orte, an denen Kristalle existieren. Dies ist jedoch nicht intuitiv wahr. Sie würden eine Energie benötigen, um einen Kristall von einer Position zu einer anderen Position zu bewegen, sodass jede Konfiguration an verschiedenen Positionen des Kristalls eine Energiebarriere zwischen sich hat. und der Kristall wählt spontan eine dieser Positionen. und Sie müssen nur über diese Zustände mitteln.

Dies ist im Allgemeinen ein tiefgreifendes Konzept, und diese Antwort basiert hauptsächlich auf Abschnitt 4.4 des Buches von bruss.

Ordnungsparameter und Mittelwerte?

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Adam

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Tsufli

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Physhyp

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