Warum werden Symmetrien durch Gruppen und nicht durch Repräsentationen gekennzeichnet?

Physiker werden sagen, dass ein bestimmtes System hat G Symmetrie, wo G ist eine Gruppe, wie z S U ( 2 ) oder S 3 oder Wasauchimmer. Um zu zeigen, dass dies der Fall ist, werden sie eine explizite Darstellung heraufbeschwören ρ G dieser Gruppe und zeigen, dass die Bewegungsgleichungen – oder die Aktion oder was auch immer – immer noch dieselben sind. Aber eine Gruppe ist allgemeiner als eine spezifische Repräsentation dieser Gruppe, daher erscheint es falsch, die beiden zu verschmelzen.

Was bedeutet also "das System hat G Symmetrie" bedeutet?

  1. Ich glaube nicht, dass das bedeuten kann: „Es gibt eine Repräsentation ρ G von G das ist eine Symmetrie des Systems", da dies trivialerweise für alle gilt G .
  2. Ich nehme an, es könnte bedeuten "Für alle Darstellungen ρ G von G auf dem Vektorraum des Systems v , ρ G ist eine Symmetrie." Wenn dem so ist, habe ich diese viel stärkere Aussage noch nie gesehen, aber vielleicht übersehe ich etwas Offensichtliches.
  3. Wenn ich meine Kollegen kenne, könnte es nur bedeuten: "Es gibt eine bestimmte Darstellung ρ G von G das ist eine Symmetrie. Aus kulturellen und sprachlichen Gründen vergessen wir einfach die Repräsentationsinformationen, die Sie selbst herausfinden können."
  4. Etwas ganz anderes?

Antworten (1)

Ich würde sagen, dass es bedeutet, dass ich einen Lagrangian habe L das hängt von einer Reihe von Feldern ab. Ich kann diese Felder unter umwandeln G . Sie können sich unter derselben Darstellung umwandeln oder nicht ρ G von irgendeiner Gruppe G . Die Objekte in jeder gegebenen Darstellung sind unter der Gruppe nicht unveränderlich (es sei denn, sie befinden sich in einer trivialen Darstellung). Es ist das System als Ganzes. Das System hat also wirklich die Symmetrie G , nicht ρ G .

Beispiele:

  • Bei QCD hat man SU(3)-Eichsymmetrie. Die Quarks wandeln sich unter der Grundwelle um. Die Gluonen wandeln sich unter dem Adjungierten um. Die Baryonen sind Skalare unter SU(3). Sie sind alle unterschiedliche Darstellungen, aber die Symmetrie des Systems als Ganzes ist die Gruppensymmetrie G = S U ( 3 ) .
  • Globale Lorentz-Symmetrie. Im Standardmodell hat man Skalare (nicht transformieren), Fermionen (Spin 1/2 Wiederholung) und Vektorbosonen (Spin 1). Alle sind in unterschiedlichen Darstellungen vorhanden, aber das gesamte System hat eine Lorentz-Symmetrie.
  • Konforme Symmetrie. Man hat verschiedene konforme Gewichtsoperatoren, aber alles transformiert sich unter der gleichen konformen Symmetrie.

Etwas anders gesagt, das System hat eine Symmetrie G , es hat verschiedene Komponenten, die alle unterschiedlich von einer Symmetrietransformation in beeinflusst werden G , aber am Ende des Tages ist das System invariant unter der Wirkung von G als Ganzes, keine spezifische Darstellung.

Klärung:

Nehmen wir den Lagrange L um unser " System " darzustellen (Sie können auch die Aktion oder die Partitionsfunktion nehmen, je nachdem, wie allgemein Sie sein möchten, aber bleiben wir erst einmal bei der Lagrange-Funktion). Der Lagrangian hängt von verschiedenen Feldern ab ϕ ρ G ich die in unterschiedlichen Darstellungen vorliegen ρ G ich . Wir können dies folgendermaßen ausdrücken:

L = L ( ϕ ρ G 1 , ϕ ρ G 2 , . . . , ϕ ρ G N ) .

Nun bedeutet die Aussage, dass das System eine gewisse Symmetrie hat, dass die Lagrange-Funktion L ändert sich nicht. Oder mit anderen Worten L ist in der trivialen Darstellung von G .

Die Liste der Felder, von denen das System (Lagrange) abhängt, kann sich unter der Aktion der Gruppe auf unzählige Arten verändern G , solange die Lagrange-Transformation trivial ist , können wir sagen, dass das System die Symmetriegruppe hat G .

Ich glaube nicht, dass dies meine Frage beantwortet: Ich verstehe, dass sich jedes Feld unter einer Darstellung von G transformiert. Die Sammlung von Feldern transformiert sich dann als eine spezifische Darstellung von G, einem Produkt der einzelnen Wiederholungen. Diese Produktdarstellung respektiert die Lagrange-Funktion. Die angeführten Beispiele scheinen anzudeuten, dass die gewählte Darstellung sehr wichtig ist! Wenn ich nur einen Satz von Feldern auswähle und darauf zu einer trivialen Darstellung umschalte, ist die Lagrange-Funktion unter der Wirkung von G nicht mehr symmetrisch! Aber soweit es die Repräsentationstheorie betrifft, ist der triviale Repräsentant ein vollkommen guter Repräsentant.
@F.Bardamu Ich verstehe deinen Punkt nicht. Wenn Sie Felder haben, die sich unter einer anderen Darstellung transformieren, der Lagrangian jetzt aber nicht invariant ist, dann haben Sie diese Symmetrie nicht. Die Darstellungen sagen Ihnen nur, wie sich verschiedene Objekte bei einer Transformation der Gruppe verändern. Wenn der Lagrangian nicht invariant ist, dann ist diese Transformation keine Symmetrie des Systems.
Genau das ist das Problem: Wenn ein System unter einer Darstellung von G symmetrisch ist, aber nicht unter einer anderen Darstellung von G, warum dann sagen „Das System ist symmetrisch unter der Gruppe G“, wenn die genauere Aussage lautet „Das System ist symmetrisch unter diese spezifische Darstellung rho_G der Gruppe G"?
@F.Bardamu Ich verstehe wirklich nicht, wie du das aus meinem Kommentar bekommst. Jedes separate Objekt in der Lagrange-Funktion, das sich nicht trivial transformiert (sprich „ transformiert sich in eine andere Darstellung “), ist unter ihm nicht symmetrisch, gerade weil es sich unter der Gruppe G ändert. Wir sagen, dass das System als Ganzes eine Symmetrie hat G wenn sich das System als Ganzes nicht ändert, obwohl sich die einzelnen Komponenten ändern. Nehmen Sie zum Beispiel GR. Sie haben Vektoren und Tensoren und sie ändern sich alle auf unterschiedliche Weise (unterschiedliche Darstellungen), aber die Hilbert-Aktion nicht, daher die Gleichungen nicht.
Daher ist das System diffeomorphismusinvariant, obwohl sich die einzelnen Objekte in ihren unterschiedlichen Repräsentationen tatsächlich ändern.
@F.Bardamu Ich habe der Antwort eine Klarstellung hinzugefügt. Ich hoffe das hilft.
@F.Bardamu "Wenn ein System unter einer Darstellung von G symmetrisch ist, aber nicht unter einer anderen Darstellung von G" Wenn Sie die Darstellung eines der Felder ändern, ändern Sie den Feldinhalt, also ändern Sie das System . Zum Beispiel hat die grundlegende Darstellung von SU(3) 3 Freiheitsgrade, während die Adjungierte 8 hat. Wenn Sie Felder in verschiedenen Darstellungen betrachten, bedeutet dies, dass Sie unterschiedliche Physik berücksichtigen. Natürlich würde das Ändern einiger davon ein System, das früher eine Symmetrie hatte, in eines verwandeln, das keine mehr hat.
Entschuldigung, vielleicht bin ich dicht, aber die Definition in Ihrer Klarstellung scheint für jede Gruppe G wahr zu sein, was "das System ist unter G symmetrisch" inhaltslos macht. Lassen Sie einfach die verschiedenen rho_Gs die triviale Darstellung sein (oder so viele Kopien davon wie nötig, um die Dimensionen anzupassen).
Warum werden Symmetrien durch Gruppen und nicht durch Repräsentationen gekennzeichnet?
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