Was sind Teilchenmultipletts im Standardmodell?

Es war die Beobachtung von Symmetrien beim Studium der Kernphysik, die zur Verwendung der Gruppentheorie und Multipletts führte. Experimentell wurde festgestellt, dass das Verhalten von Kernen nicht in erster Ordnung von der Anzahl der Protonen und Neutronen abhängt, sondern von der Anzahl der Nukleonen (entweder Protonen oder Neutronen). Außerdem wurde festgestellt , dass eine Spinzuweisung auf das Nukleon von +1/2 für das Proton und -1/2 für das Neutron die beobachteten Wechselwirkungen wirtschaftlich beschreiben würde . Dies wurde Isotopenspin genannt und konnte mit der Gruppe SU(2) organisiert werden.

Aus Streuungen von Elementarteilchen entstanden dann die Darstellungen in Vielfachen. , weil mehr Quantenzahlen gefunden wurden und die gefundenen Symmetrien mit Multipletts von SU(3) beschrieben werden konnten.

Das Meson-Oktett. Teilchen entlang der gleichen horizontalen Linie haben die gleiche Fremdheit s, während die auf den gleichen Diagonalen die gleiche Ladung q haben.

Isospin auf der x-Achse und Strangeness-Quantenzahl auf der y beschreiben das Baryonen-Oktett. Die Massen erster Ordnung der Isospin-Multipletts der x-Achse sind gleich.

Die Organisation in Multipletts für alle Resonanzen und Anregungen hatte prädiktives Verhalten, wie bei der Vorhersage des Omega- , der Spitze des Entkopplers.

Das erste entdeckte Omega-Baryon war 1964 das aus drei seltsamen Quarks bestehende Ω−. 3 Die Entdeckung war ein großer Triumph in der Untersuchung von Quarkprozessen, da es erst gefunden wurde, nachdem seine Existenz, Masse und Zerfallsprodukte vorhergesagt worden waren vom amerikanischen Physiker Murray Gell-Mann im Jahr 1962 und unabhängig vom israelischen Physiker Yuval Ne'eman.

Die beobachteten Symmetrien führten zunächst zum Quark-Modell der Elementarteilchen und zur weitgehenden Verwendung von Gruppensymmetrien in den vorgeschlagenen Theorien, was zum Standardmodell mit führte$SU(3)\times SU(2)\times U(1)$Symmetrien.

Einfach ausgedrückt ist ein Teilchenmultiplett eine Kombination von Teilchen, die sich unter einer Symmetrietransformation ineinander umwandeln.

Um ein System zu beschreiben, braucht man zwei Hauptzutaten:

1. Symmetriegruppen
2. Feldinhalt

Wenn das System unter einer Symmetrie invariant ist, müssen die Felder die Form von Multipletts haben (andernfalls ist es unmöglich, eine Kombination von Feldern zu bilden). Es gibt viele Beispiele für solche Multipletts. Diese Feldkombinationen sind nur die bequemste Art, das System mit einer Symmetrie zu beschreiben.

Ein besonders rudimentäres Beispiel sind Spin-Spin-Wechselwirkungen in der Quantenmechanik. Wir nehmen an, dass das System unter einer Spinsymmetrie invariant ist,$SU(2)$. Wenn wir dann annehmen, dass das System zwei Teilchen mit Spin 1/2 hat, dann sind die vier möglichen Zustände die Singulett- und Triplettzustände:

$$\begin{equation} \left|0,0 \right\rangle , \quad \left| 1,1 \right\rangle , \left| 1, 0 \right\rangle , \left| 1 , - 1 \right\rangle \end{equation}$$ Unter einer SU(2)-Rotation haben wir, $$\begin{align} & \psi ^{ singlet} \rightarrow \psi ^{ singlet} \\ & \psi ^{ triplet} _i \rightarrow U _{ ij} \psi ^{ triplet} _{ j} \end{align}$$ Mit anderen Worten, Transformationen erzeugen Rotationen zwischen den Partikeln im Multiplett, nehmen aber niemals ein Feld außerhalb dieses Multipletts (ein Triplett kann nicht in ein Singulett rotieren).

Ein weiteres wichtiges Beispiel wird von AnnaV angeführt. Die SM ist näherungsweise invariant unter a$SU(3)$chirale Symmetrie, bei der das Up-, Down- und Strange-Quark ineinander übergehen. Um dies zu sehen, betrachten Sie den QCD-Lagrangian bei Energien weit unter der Charmemasse, sodass wir ihn sowie den Boden und die Oberseite effektiv ignorieren können:

$$\begin{equation} {\cal L} _{ QCD} = \sum _{ i = u,d ,c }\bar{\psi} _i ( i D _\mu \gamma ^\mu - m _i ) \psi _i - \frac{1}{4} G _{ \mu \nu } ^a G ^{ \mu \nu } _{ a} \end{equation}$$ Dieser Lagrange ist unter dem Geschmack nicht unveränderlich $SU(3)$Transformation, $$\begin{equation} \psi _i \rightarrow U _{ ij} \psi _i \end{equation}$$ da der Massenterm nicht invariant ist. Aber wenn wir weit über der seltsamen Masse arbeiten (aber immer noch unter der Zaubermasse), dann haben wir ungefähr, $$\begin{equation} {\cal L} _{ QCD} \approx \sum _{ i = u,d ,c }\bar{\psi} _i ( i D _\mu \gamma ^\mu ) \psi _i - \frac{1}{4} G _{ \mu \nu } ^a G ^{ \mu \nu } _{ a} \end{equation}$$ was unter der Flavour-Symmetrie ungefähr invariant ist.

Hadronen erhalten ihre Masse hauptsächlich durch nicht-perturbative Wechselwirkungen zwischen den Quarks. Es stellt sich heraus, dass QCD um nicht störend wird,

$$\begin{equation} \Lambda _{ QCD} \approx 200 \mbox{MeV} \end{equation}$$ während die Charmemasse ist $\approx 1000 \mbox{MeV}$und die seltsame Masse ist $100 \mbox{MeV}$. Somit können Hadronenmassen näherungsweise mit dem masselosen Lagrange-Operator oben beschrieben werden. Da die Lagrange-Funktion eine zusätzliche Symmetrie hat, müssen die Teilchen Multipletts der Symmetrie bilden. Obwohl wir ihre Massen nicht direkt berechnen können, sollten sie ungefähr eine solche Symmetrie in ihren Massen aufweisen. Aus diesem Grund erwarten wir, dass die Hadronenmassen in Geschmacksmultipletts angeordnet sind.

Es gibt 5 Standardmodell(SM)-Multipletts pro Generation von Fermionen.

Die SM-Gauge-Gruppe ist$\mathcal{G}_\text{SM} = SU(3)_C \times SU(2)_L \times U(1)_Y$. Verschiedene Multipletts können dann geschrieben werden als$\mathcal{G}_\text{SM} \ni x = (C,T)_{(Y)}$, wo$C$bezeichnet Farbmultiplett,$T$schwaches Isospin-Multiplett und$Y$Hypercharge-Wert. Multipletts (1. Generation) sind dann

$$Q = (3,2)_{(1/3)} = \begin{pmatrix} u_r & u_g & u_b \\ d_r & d_g & d_b \end{pmatrix}, \quad \text{quark multiplet},$$ $$L = (1,2)_{(-1)} = \begin{pmatrix} \nu_e \\ e \end{pmatrix}, \quad \text{leptonic doublet},$$ $$u^c = (\bar{3},1)_{(-4/3)} = \begin{pmatrix} u^c_{\bar{r}} & u^c_{\bar{g}} & u^c_{\bar{b}} \end{pmatrix}, \quad \text{anti-up quarks},$$ $$d^c = (\bar{3},1)_{(2/3)} = \begin{pmatrix} d^c_{\bar{r}} & d^c_{\bar{g}} & d^c_{\bar{b}} \end{pmatrix}, \quad \text{anti-down quarks},$$ $$e^c = (1,1)_{(2)}, \quad \text{positron}.$$ Anti-Neutrino (rechtshändige Komponente - Sie brauchen es bei massiven Neutrinos) ist ein SM-Singlet, also transformiert es sich nicht darunter $\mathcal{G}_\text{SM}$, was bedeutet, dass das Multiplett geschrieben werden könnte als $$\nu^c = (1,1)_{(0)}$$ Der Grund warum $e^c$ist als SM-Multiplet enthalten, und $\nu^c$ist nicht, weil es eine Überladung ungleich Null hat und an der teilnimmt $U(1)_Y$Interaktionen.

Sie haben diese 5 Multipletts für jede Generation:$Q_1$zum Beispiel enthält$u$und$d$Quark,$Q_2$enthält$c$und$s$Quarks und so weiter. Die Zahl in dieser Multiplett-Notation bedeutet, zu welcher (nicht reduzierbaren) Darstellung das Multiplett gehört. Deswegen$u^c$und$d^c$Gehören zur$\overline{\mathbf{3}}$Darstellung und haben Antifarben in den Indizes.

Von hier aus können Sie das zum Beispiel sehen$Q$wandelt sich als Triplett unter$SU(3)_C$, dass es sich als Dublette darunter umwandelt$SU(2)_L$und dass es zu einer nicht-trivialen Darstellung unter gehört$U(1)_Y$(was bedeutet, dass es eine Überladung ungleich Null hat). Dies bedeutet, dass es über alle drei grundlegenden Wechselwirkungen interagiert. Leptonen zum Beispiel interagieren nur über die elektroschwachen Wechselwirkungen (in der Multiplett-Notation ist es offensichtlich, dass sie keine Farbe tragen).

Zum$u^c$und$d^c$Sie sehen, dass sie nicht darunter interagieren$SU(2)_L$. Allerdings Eichbosonen$W^\pm$und$Z$gehören nicht zu den$SU(2)_L$direkt: Sie sind Linearkombinationen von$SU(2)_L$und$U(1)_Y$Generatoren. Die "schwache" Interaktion via$Z$und$W^\pm$ist keine streng schwache Wechselwirkung in dem Sinne, dass Ihr Multiplett a sein könnte$SU(2)_L$Singulett, und solange es eine Hyperladung ungleich Null hat, wird es mit diesen Bosonen interagieren. WAHR$SU(2)_L$Generatoren sind auch masselos,$Z$und$W^\pm$sind nur das, was übrig bleibt, nachdem Sie die Symmetrie über den Higgs-Mechanismus bei ausreichend niedrigen Energien (ca$M_Z$). Im gleichen Sinne ist das Photon nicht das$U(1)_Y$Generator, aber was bleibt von der$SU(2)_L\times U(1)_Y$Generatoren und vermittelt die$U(1)_\text{em}$(elektromagnetische) Wechselwirkung. Also ja, Photon ist auch eine Linearkombination von$SU(2)_L$und$U(1)_Y$Generatoren.

Was die Frage betrifft, „warum brauchen Sie sie?“ … brauchen Sie nicht wirklich, es sei denn, Sie machen Grand Unified Theories (GUTs). Dort liegen typischerweise alle SM-Partikel zur Erzeugung in einem oder zwei Multipletts vor. Zum Beispiel unter$SO(10)$GUT, ganze Generation von Teilchen gehört dann nur einer Repräsentation (Multiplet) an, und das ist$\mathbf{16}$:

$$\mathbf{16} = (Q, u^c, d^c, L, e^c, \nu^c).$$ Es ist dann einfacher, SM-Partikel in einem GUT zu identifizieren, wenn Sie bereits wissen, wie sie sich umwandeln. Das sieht man zum Beispiel nach einer Pause $SO(10)$zu $\mathcal{G}_\text{SM}$Sie finden, dass sich die ersten 6 Komponenten dieses Vektors wie transformieren $(3,2)_{(1/3)}$, sodass Sie sie mit dem Quark-Multiplett identifizieren können $Q$.