Was ist physikalisch eine pseudoreale Darstellung?

Es gibt drei Arten von Darstellungen: reell, komplex und pseudoreal. Eine komplexe Darstellung ist nicht gleichbedeutend mit ihrer Konjugierten, und eine reelle ist es, was ziemlich einfach ist. Eine pseudoreale Darstellung ist auch äquivalent zu ihrer Konjugierten, aber die Basiswechselmatrix, die sie in Beziehung setzt, hat einige seltsame Eigenschaften. (Beachten Sie, dass diese Definitionen unabhängig von den Begriffen „reell“ und „komplex“ in der Mathematik sind; alle Darstellungen in der Quantenmechanik sind „komplex“ im mathematischen Sinne.)

Es gibt eine klare physikalische Bedeutung einer komplexen Darstellung, dh dass Teilchen, die sich in diese Darstellungen verwandeln, nicht dieselben sind wie ihre Antiteilchen. Aber ich kann keine einfache physikalische Bedeutung für die Pseudorealität finden, die sie von der Realität unterscheidet; Es scheint mir eine ziemlich willkürliche Unterscheidung zu sein, und ich weiß nicht einmal, warum wir diese Unterscheidung aus mathematischen Gründen treffen sollten. Wie soll ich physikalisch über Realität und Pseudorealität denken?

Mathematisch gesehen alle Darstellungen einer Gruppe G sind gleich definiert, π : G → A u T v . Die Wiederholungen, auf die Sie sich beziehen, müssen sich also auf zusätzliche Bedingungen beziehen, die über die allgemeine Definition einer Wiederholung hinausgehen.
Der Standardprototyp für Anwendungen besteht aus allen Wiederholungen S U ( 2 ) pseudoreal zu sein, was das Verschwinden von Anomalien für ihn diktiert - das Symmetrische D -Koeff in der Lie-Algebra verschwinden. Vielleicht finden Sie darin eine zufriedenstellende Bedeutung.

Antworten (1)

Die Definition einer reellen Darstellung besteht nicht nur darin, dass sie isomorph zu ihrer Konjugierten ist.

Sowohl reelle als auch pseudoreale Darstellungen sind isomorph zu ihren Konjugierten. Diese Isomorphie erzwingt die Existenz einer äquivarianten antilinearen Abbildung

J : v → v ,
Wo v ist der Darstellungsraum, der einfach der Isomorphismus ist ϕ : v → v ∗ verkettet mit komplexer Konjugation.

Eine solche äquivariante Karte quadriert notwendigerweise zu einem Vielfachen der Identität nach Schurs Lemma, dh J 2 = C ⋅ ich D v für einige C ∈ R . Wenn C > 0 , Dann J eine reelle Form ist und die Darstellung reell ist, wenn C < 0 , Dann J eine quaternionische Form ist und die Darstellung pseudoreal = quaternionisch ist.

Auf einem reellen Vektorraum kann man eine reelle Darstellung auf eine wörtliche Darstellung reduzieren, dh die Darstellung auf den Unterraum mit beschränken J ( v ) = v , dh die komplexe Darstellung v spaltet sich natürlich in die direkte Summe zweier reeller Darstellungen auf v = v R ⊕ ich v R . Dies sind zB Majorana-Spinoren.

Sie können eine quaternionische Darstellung nicht auf diese Weise reduzieren (obwohl es einige lustige Dinge mit Pseudo-Majoranas gibt, die mir nicht ganz klar sind).

In Ordnung, ich verstehe. Wenn ich das also richtig verstehe, ist diese Unterscheidung in der Quantenmechanik nie wichtig (weil der Hilbert-Raum immer komplex ist), kann aber in der Quantenfeldtheorie sein (weil Felder reellwertig sein können), richtig?
@knzhou Dies ist in der Tat nur für Darstellungen auf komplexen Vektorräumen von Bedeutung, die keine quantenmechanischen Zustandsräume sind.
Was ist physikalisch eine pseudoreale Darstellung?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 3v