Was ist anders in der Repräsentation?

Tut mir leid, wenn das eine etwas blöde Frage ist.

Erstens: „Die Darstellungstheorie ist ein Zweig der Mathematik, der abstrakte algebraische Strukturen untersucht, indem er ihre Elemente als lineare Transformationen von Vektorräumen darstellt. “

Ich weiß wenig über Teilchenphysik, aber meines Wissens befassen sich Physiker nur mit den Gruppen von (linearen) symmetrischen Operatoren, die auf den Vektorraum von Zuständen wirken.

Physiker beschäftigen sich also tatsächlich mit dem kursiven Teil der Darstellungstheorie. Warum sollten sie es hereinbringen? Welche Bedeutung hat die Aktion „ein Element einer Gruppe als lineare Transformation darstellen“ in der Arbeit von Physikern, die sich bereits mit Gruppen linearer Transformationen befassen?

Ich bin mir nicht ganz sicher, was Sie fragen. In der Physik haben wir Symmetriegruppen (zB die S Ö ( 1 , 3 ) wie die Lorentz-Gruppe oder die U ( 1 ) als Eichgruppe des Elektromagnetismus). Damit diese Symmetrien auf unsere Vektoren wirken, müssen wir diese Vektoren als transformierend unter einer bestimmten Darstellung der Symmetrie betrachten, sonst wüssten wir nicht, wie wir die Symmetrie auf einen gegebenen Vektor anwenden sollen. Fragen Sie sich vielleicht, warum wir andere Repräsentationen als die grundlegende betrachten (d. h. die, von der wir die Elemente nehmen? S U ( N ) so wie die Matrizen sie sind)?
Ja, das frage ich. Ich habe gerade eine Antwort herausgefunden. Wenn Sie es klarer machen könnten, wäre es großartig. Ich fange gerade an, das erste Buch über die Wiederholungstheorie zu lesen :)

Antworten (2)

Eine Gruppe G an sich ist keine Gruppe linearer Transformationen , sondern ein abstraktes algebraisches Objekt. Nur seine Repräsentationen bilden seine Elemente (injektiv, wenn die Repräsentation treu ist) auf Elemente ab A u T ( v ) eines Vektorraums v .

Nun scheint die Physik zunächst keine Notwendigkeit für eine solche abstrakte Sprache zu haben. Unser "Vektorraum" ist so ziemlich unsere Raumzeit, und das ist ziemlich viel R 4 , also sind Ihre Symmetrien wirklich nur Matrizen auf dieser Raumzeit. Die Lorentz-Symmetrie ist gerecht S Ö ( 1 , 3 ) in seiner grundlegenden Darstellung auf dem Minkowski-Raum R 1 , 3 , Rechts? Oder nicht-relativistisch, Rotationssymmetrie ist gerecht S Ö ( 3 ) An R 3 , Rechts?

...und dann gibt es Drehimpuls und Spin. Wenn Sie die Schrödinger-Gleichung für die Energieniveaus eines Wasserstoffatoms lösen, stellen Sie fest, dass die Energieniveaus durch „Quantenzahlen“ gekennzeichnet sind. ( N , l , M , S ) . Jetzt N ist langweilig. Aber l Und M sind Eigenwerte des sphärischen Laplace-Operators und führen zu den beliebten sphärischen Harmonischen Y M l als eigenständige Lösungen. Es stellt sich heraus, wenn Sie das System im Raum drehen, verhalten sich diese Harmonischen je nach ihrer unterschiedlich l ! Formal der Raum

H l := { ∑ M C M Y M l | M ∈ { − l , − l + 1 , … , l } ∧ C M ∈ R }

ist ein Vektorraum und trägt eine Darstellung der Rotationsgruppe S Ö ( 3 ) ! Aber nicht die grundlegende, wenn l > 1 . Es gibt also Ihre nicht-fundamentale Darstellung, die allein durch das Lösen der Gleichungen entsteht, die ein physikalisches System beschreiben.

Noch seltsamer wird es bei diesen Rotationsgruppen, da sich auch herausstellt, dass es Objekte gibt, die Fermionen, die sich nicht in eine Darstellung von verwandeln S Ö ( 1 , 3 ) oder S Ö ( 3 ) , aber in einer Darstellung ihrer universellen Abdeckungen, S P ich N ( 1 , 3 ) oder S U ( 2 ) , bzw. Sie haben keine Chance, die Arten von Phänomenen zu beschreiben, die Sie bei Fermionen beobachten, ohne zu akzeptieren, dass sie sich auf diese Weise umwandeln.

Und das ist nicht das Ende der Geschichte. Wenn Sie eine Eichtheorie mit Eichgruppe aufbauen G , werden Sie feststellen, dass sich die zugehörige Feldstärke des Eichfeldes als Element der adjungierten Darstellung von transformieren muss G . Nicht-fundamentale Darstellungen durchdringen auf diese Weise viele Aspekte der (Quanten-)Feldtheorie.

Hier ist, was ich dachte:

In einem bestimmten physikalischen System ist eine Gruppe symmetrischer Operatoren (sagen wir, die auf den Hilbert-Raum V wirken) eine Untergruppe der Gruppe L (V).

Daher können wir uns mit der Darstellungstheorie statt mit L(V) mit einer irreduziblen Darstellung L(A) befassen, die wesentlich einfacher als L(V) ist.

Es ist verdammt großartig, selbst etwas Sinnvolles herauszufinden. (Auch wenn es vielleicht nicht stimmt)

Was ist anders in der Repräsentation?
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