Der SU(2)SU(2)SU(2)-Isospin für Quark vs. Anti-Quark: Fix d¯=−|1/2,1/2>d¯=−|1/2,1/2>\bar {d}=-|1/2,1/2>?

Der Isospin für zwei Quarks u , D , es ist das gewählt

u = | 1 / 2 , 1 / 2 > , D = | 1 / 2 , − 1 / 2 > ,
in grundlegender Rep. von S U ( 2 ) .

die Anti-Quarks haben eine antifundamentale Rep von S U ( 2 ) [also gleich wie die fundamentale Rep von S U ( 2 ) ],

D ¯ = − | 1 / 2 , 1 / 2 > , u ¯ = | 1 / 2 , − 1 / 2 > ,

Beachten Sie, dass vor dem ein Minuszeichen steht D ¯ = − | 1 / 2 , 1 / 2 > .

Irgendwie ist das Minuszeichen entscheidend, um die Triplett- und Singulett-Zustandswellenfunktion korrekt zu bekommen. nämlich wir haben

2 ⊗ 2 = 3 ⊕ 1
wobei die 3 das Triplett (3 Pionen) und 1 das Singulett (ein weiteres Meson) für die Pseudo-Skalar-Mesonen ist.

Warum wissen wir, dass wir wählen sollten D ¯ = − | 1 / 2 , 1 / 2 > ? Auf Seite 169 von Griffiths Buch sagte er, das Minuszeichen sei „ein technisches Detail, aber es beeinflusse das Ergebnis nicht wesentlich“.

Ich finde, dass das Minuszeichen sehr entscheidend ist, um die richtige Wellenfunktion von Pion zu erhalten π 0 einer der Drillinge sein

u u ¯ − D D ¯
= | 1 , 0 >= | 1 / 2 , 1 / 2 > | 1 / 2 , − 1 / 2 > + | 1 / 2 , − 1 / 2 > | 1 / 2 , 1 / 2 >

anstatt ein Singlet zu sein

u u ¯ + D D ¯
= | 0 , 0 >

Warum wissen wir also, dass das Minuszeichen da ist, und ist es der Schlüssel zur Physik oder nicht? Ich frage nach einem tieferen Grund dafür, weil ich weiß, dass das Minuszeichen dort 100% Sinn für die Pion-Wellenfunktionen macht.

Antworten (1)

Geht man von den Quarks aus, transformiert man sich unter Fundamentaldarstellung S U ( 2 )

ψ ich ' = U ich J ψ J

und komplex konjugieren beide Seiten, erhalten Sie

ψ ' ich ∗ = U ich J ∗ ψ J ∗

die sich unter dem antifundamentalen Repräsentanten von umwandelt S U ( 2 ) .

Für U ∈ S U ( 2 ) , es existiert ein S ∈ S U ( 2 ) so dass S − 1 U S = U ∗ . Beachten Sie, dass dies eine spezielle Eigenschaft ist, auf die beschränkt ist S U ( 2 ) nur Matrizen und verallgemeinert nicht S U ( N ) . Die vorherige Gleichung in Matrixform wird daher zu:

ψ ' ∗ = ( S − 1 U S ) ψ ∗ ⟹ S ψ ' ∗ = U ( S ψ ∗ )
So S ψ ∗ verwandelt sich als ψ . Das stellt sich in der Pauli-Darstellung heraus S = ich σ 2 , und das ist der Grund für das Minuszeichen in Ihren Gleichungen als σ 2 hat in einer der Komponenten ein Minuszeichen und in der anderen ein Pluszeichen. Mit anderen Worten

ich σ 2 = [ 0 1 − 1 0 ]

und damit das Minuszeichen.

Tut mir leid, dass ich jetzt verwirrt bin, also kann ich Sie nicht als Antwort akzeptieren. Haben Sie gesagt U ist spurlos hermitesch, oder meinst du wirklich den Generator T A in Lie-Algebra ist spurlos (Pauli-Matrizen)???
In diesem Sinne sagte er auf Seite 169 von Griffiths Buch, dass es meiner Meinung nach kein wesentliches Problem ist, sondern ein sehr wichtiges Minuszeichen???!!!
@annieheart ja, das war ein Tippfehler, danke für den Hinweis. bezüglich der aussage von griffiths, vielleicht braucht er sie in keiner weiteren rechnung, deshalb sagt er, dass es kein wesentlicher punkt ist.
Der SU(2)SU(2)SU(2)-Isospin für Quark vs. Anti-Quark: Fix d¯=−|1/2,1/2>d¯=−|1/2,1/2>\bar {d}=-|1/2,1/2>?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v