Woher kommt die SU(2)SU(2)SU(2)-Isospin-Symmetrie?

Die Antwort von DomDoe ist die historische Antwort, aber ich vermute, dass mithusengupta123 wirklich so etwas fragt wie:

Wie kommt es angesichts unseres Verständnisses des Standardmodells der Teilchenphysik, dass die Niederenergiephysik von Hadronen eine ungefähre Isospin-Symmetrie hat?

1. Auf Quarks wirkender Isospin

Historisch gesehen wurde Isospin historisch als Symmetrie zwischen Protonen und Neutronen vorgeschlagen. Ein Nukleon ist ein Feld$N = (p, n)^T$das ist ein Dublett unter SU(2)-Isospin. Äquivalent können wir Isospin auf den leichten Quarks definieren, indem wir das Auf und Ab in ein Isospin-Dublett legen,$q = (u, d)^T$.

Durch Addition von Spin hat ein Zustand mit zwei up-Quarks und einem down-Quark einen Netto-Isospin$I^3 = +1/2$, und das stimmt damit überein, dass das Proton a ist$+1/2$Zustand. Ähnlich mit dem Neutron mit Isospin$-1/2$.

2. Isospin ist nicht exakt

Isospin ist keine exakte Symmetrie. Es ist eine ungefähre Symmetrie. Es wird gebrochen durch:

1. Die Masse der Quarks. Das Up-Quark hat eine andere Masse als das Down-Quark. Ebenso hat das Proton eine andere Masse als das Neutron.

2. Es ist auch mein Elektromagnetismus gebrochen. Die Up- und Down-Quarks haben eine unterschiedliche elektrische Ladung. Ebenso ist das Proton geladen, während das Neutron neutral ist.

In diesem Sinne ist Isospin keine Symmetrie. Es ist fast eine Symmetrie. Was meinen wir mit fast ? Wir meinen, dass es einen kleinen, dimensionslosen Parameter gibt, um den wir erweitern können. Wenn wir über niederenergetische hadronische Physik sprechen, ist dieser Parameter so etwas wie$(m_u - m_d)/\Lambda_\text{QCD}$, Wo$\Lambda_\text{QCD}$ist die Begrenzungsskala (alternativ könnten Sie die Protonenmasse eingeben, die ungefähr in der gleichen Größenordnung liegt). Der andere Erweiterungsparameter ist$\alpha = 1/137$. Diese beiden Expansionsparameter liegen um das Prozentniveau herum.

Das bedeutet, dass, wenn wir ein Ergebnis haben, das in der exakten Grenze der Isospin-Symmetrie wahr ist, das tatsächliche Ergebnis in der Natur bis zu prozentualen Korrekturen dasselbe ist. Darüber hinaus können wir Techniken wie die Störungstheorie verwenden, um diese Korrekturen Reihenfolge für Reihenfolge zu lösen.

3. Isospin in der Praxis

Wie verwenden wir Isospin? Ein einfaches Beispiel sind die Pionen. Wir wissen, dass Pionen gebundene Zustände zweier leichter Quarks sind. Das heißt, sie befinden sich in einer Isospin-Darstellung, die aus dem Produkt zweier Dubletts stammt. (Hier gibt es eine Subtilität, weil es wirklich ein Quark--Anti-Quark-Paar ist, siehe zB diese Frage .) Wir wissen, dass die Kombination von zwei SU(2)-Dubletts ein Triplett und ein Singulett ergibt.

Experimentell können wir das Triplett und das Singulett als die drei Pionen und die identifizieren$\eta$, bzw. Die drei Pionen sind durch Isospinsymmetrie miteinander verwandt, während die$\eta$ist ein eigenes Objekt. In der Tat, die$\eta$ist etwa viermal schwerer als die Pionen, die ungefähr die gleiche Masse haben.

Andererseits haben die Pionen nicht exakt die gleiche Masse. Die geladenen Pionen haben 140 MeV, während das neutrale Pion 135 MeV hat. Diese wenige Prozent Korrektur der exakten Isospin-Grenze ist genau das Ergebnis der Massenaufspaltung der Quarks und der elektromagnetischen Unterscheidung zwischen geladenem und neutralem Zustand.

4. Woher kommt der Isospin?

Nun zum Kern der Frage: Wenn wir das Standardmodell kennen, wie verstehen wir, dass es bei niedrigen Energien eine ungefähre Isospin-Symmetrie gibt? Wie hängt dies mit einer der anderen Symmetrien des Standardmodells zusammen?

Die Antwort ist, dass die Isospin-Symmetrie das Ergebnis des Brechens der chiralen Symmetrie ist.

Stellen Sie sich vor, Sie schreiben alle Partikel des Standardmodells ohne Wechselwirkungen auf. Zwischen den Quarks besteht eine Symmetrie.$U(6)_L\times U(6)_R$, das die sechs linkshändigen Quarks getrennt von den sechs rechtshändigen Quarks rotiert. (Erinnern Sie sich an die Darstellungstheorie, dass links-chirale und rechts-chirale Felder a priori völlig unterschiedliche Dinge sind, die unterschiedliche Ladungen haben können.) Das ist tatsächlich so

Diese Symmetrie wird gebrochen durch:

1. Die elektroschwache Kraft, die zwischen links- und rechtschiralen Quarks unterscheidet. Außerdem platziert es linkshändige Quarks in Dubletten und unterscheidet zwischen rechtshändigen Quarks mit Aufwärts- und Abwärtsladungen.

2. Die Yukawa-Wechselwirkungen mit dem Higgs, das (bei elektroschwacher Symmetriebrechung) vektorartigen Kombinationen von links- und rechtschiralen Quarks unterschiedliche Massen verleiht. Dadurch werden Weyl-Fermionen zu Dirac-Fermionen kombiniert.

Lassen Sie uns die elektroschwache Kraft ignorieren – diese Effekte treten bei elektroschwachen Kopplungen auf, von denen wir wissen, dass sie relativ klein sind. Sicherlich bei niedrigen Energien, wenn sie entweder durch ein Photon vermittelt werden ($\alpha = 1/137$) oder ein$W/Z$Boson (unterdrückte Beiträge bei niedrigen Energien, weil sie schwer sind).

Dann paaren die Massenterme links- und rechtschirale Fermionen. Diese Massenbegriffe sehen aus wie$m_q \bar q_L q_R+\text{h.c.}$. Nehmen wir zunächst an, dass alle Quarks die gleiche Masse haben. Das ist,$m_q$ist universell. Dann bedeutet dies, dass unser Original$U(6)_L\times U(6)_R$Symmetrie wird gebrochen$U(6)_D$, bei dem die$D$bedeutet diagonal. Wenn Sie zwischen den sechs linkshändigen Quarks rotieren, müssen Sie eine kompensierende Rotation zwischen den sechs rechtshändigen Quarks durchführen, damit der Massenterm invariant bleibt.

Sobald Sie die unterschiedlichen Massen der einzelnen Quarks einschalten, dann dies$U(6)_D$ist weiter zu gebrochen$U(1)^6$, was im Grunde die Rephasierung jeder Art von Quark ist.

Wir wissen, dass es eine große Hierarchie in den Quark-Massen gibt, also bricht das größtenteils zusammen$U(1)^6$Symmetrie ist ziemlich streng. Jedes U(1) repräsentiert die Erhaltung von Up-ness, Down-ness, strangeness, charm-ness, etc. (Wir wissen, dass die Interaktionen der$W$Boson verletzen diese, aber im Moment ignorieren wir die elektroschwachen Wechselwirkungen.) Allerdings ist die Massenaufspaltung zwischen dem Up- und dem Down-Quark relativ bescheiden ... also haben das Up und das Down tatsächlich eine Annäherung$SU(2)$Symmetrie übrig. (Ich bin schlampig mit den U (1) -Faktoren, Sie können sie in die allgemeine Erhaltung der Baryonenzahl und andere Erhaltungsgesetze umpacken.) Dies$SU(2)$Symmetrie ist genau Isospin.

5. Was bringt uns das?

Warum ist das grundsätzlich sinnvoll?

Wir wissen, wie man mit spontaner Symmetriebrechung umgeht. Insbesondere wissen wir, dass das Brechen der$SU(2)_L\times SU(2)_R$Untergruppe von$U(6)_L\times U(6)_R$ist ein spontanes Brechen einer angenäherten Symmetrie. Somit können wir die Wechselwirkungen der Goldstone-Bosonen dieses Brechens durch das nichtlineare Sigma-Modell bis auf Korrekturen beschreiben.

Die Stärke dieser Sichtweise liegt darin, dass die Pionen mit den Goldstone-Bosonen identifiziert werden$SU(2)_L\times SU(2)_R \to SU(2)_D$. Ihre Wechselwirkungen untereinander werden durch das nichtlineare Sigma-Modell vorhergesagt , sobald man die Skala definiert, bei der diese Symmetrie gebrochen wird. (Dies ist die Pion-Zerfallskonstante, die mit der chiralen Symmetriebrechungsskala durch das chirale QCD-Kondensat in Beziehung steht.)

Man kann dies erweitern und sagen, dass das Strange-Quark auch ziemlich nahe an der Masse des Oben und Unten liegt. Dann kann man von ungefähr sprechen$SU(3)_L\times SU(3)_R \to SU(3)_D$brechen. Im Grenzfall, wo die Massen aller drei leichten Quarks entartet sind, kann man die Goldstone-Bosonen als ein Oktett aus Pionen und Kaonen beschreiben. Die Wechselwirkungen zwischen diesen Teilchen werden alle durch das nichtlineare Sigma-Modell vorhergesagt, bis hin zu Korrekturen, die jetzt etwas größer sind als im reinen SU(2)-Isospin-Fall.

Isospin wurde eingeführt, bevor das Quark-Modell entwickelt wurde. Da Up- und Down-Quarks etwa die gleiche Masse und die gleiche Kopplung an die starke Kraft haben, funktioniert diese Symmetrie ziemlich gut für Nukleonen (Proton$uud$, Neutron$udd$).$SU(2)$wurde als Analogie zum regulären Spin vorgeschlagen. Es behandelt das Proton und das Neutron als nur zwei verschiedene Zustände (spin up, spin down) desselben Teilchens (daher die$SU(2)$).

Nach der Einführung des Quark-Modells (bei dem schon aufgefallen ist, dass es viel schwerere Quarks als up/down gibt) bekamen alle anderen Quarks einen Isospin$0$-Ladung, um es nur zu einer Symmetrie von Up/Down-Quarks zu machen ($I_{3_{u/d}}=\pm \frac{1}{2}$).