Was bedeutet ein SU(2)SU(2)\rm SU(2)-Isospin-Dublett wirklich?

Zwei Teilchen bilden eine$SU(2)$Dublett bedeutet, dass sie sich unter einem ineinander verwandeln$SU(2)$Transformation. Zum Beispiel verwandeln sich ein Proton und ein Neutron (die ein solches Dublett bilden) wie folgt:

$$\begin{equation} \left( \begin{array}{c} p \\ n \end{array} \right) \xrightarrow{SU(2)} \exp \left( - \frac{ i }{ 2} \theta_a \sigma_a \right) \left( \begin{array}{c} p \\ n \end{array} \right) \end{equation}$$ wo $\sigma _a$sind die Pauli-Matrizen. Es stellt sich heraus, dass die reale Welt bestimmten Symmetrieeigenschaften gehorcht. Zum Beispiel sind die beschriebenen Gleichungen der starken Wechselwirkungen von Protonen und Neutronen unter einheitlichen Transformationen mit der Determinante 1 (der oben gezeigten Transformation) zwischen dem Proton und dem Neutron ungefähr unveränderlich. Dies musste nicht der Fall sein, aber es stellt sich heraus, dass es so ist. Da die starke Wechselwirkung unter solchen Transformationen invariant ist, ist jeder Wechselwirkungsterm in der Lagrange-Funktion der starken Wechselwirkung stark eingeschränkt. Dies ist zum einen nützlich, da man damit einfache Vorhersagen über Protonen- und Neutronensysteme treffen kann.

Um diese Transformation besser zu verstehen und warum die Symmetrie gilt. Betrachten Sie die QCD-Lagrange für die Up- und Down-Quarks (die, wie für das Proton und das Neutron, auch ein Isospin-Dublett bilden):

$$\begin{equation} {\cal L} _{ QCD} = \bar{\psi} _{u,i} i \left( \left( \gamma ^\mu D _\mu \right) _{ ij} - m _u \delta _{ ij} \right) \psi _{u,j} + \bar{\psi} _{ d ,i} \left( \left( \gamma ^\mu D _\mu \right) _{ ij} - m _d \delta _{ ij} \right) \psi _{d ,j}% \\ % & \bar{\psi} _{i} i \left( \left( \gamma ^\mu D _\mu \right) _{ ij} - M \delta _{ ij} \right) \psi _{j} \end{equation}$$ wo $D ^\mu$ist die kovariante Ableitung und die Summe über $i,j$ist eine Summe über der Farbe. Beachten Sie, dass wenn $m _{ u} \approx m _d \equiv m$wir können diesen Lagrange in einer bequemeren Form schreiben, $$\begin{equation} {\cal L} _{ QCD} = \bar{\psi} _{i} i \left( \left( \gamma ^\mu D _\mu \right) _{ ij} - m \delta _{ ij} \right) \psi _{j} \end{equation}$$ wo $\psi \equiv \left( \psi _u \, \psi _d \right) ^T$. Dieser Lagrangian ist nun invariant gegenüber Transformationen zwischen Up- und Down-Quarks ("Isospin"), da die Farbgeneratoren mit den Isospin-Generatoren kommutieren. Da sich Proton und Neutron nur in ihrem Verhältnis von Up- zu Down-Quarks unterscheiden (genauer gesagt, ihre Quantenzahlen entsprechen denen von $uud$und $udd$bzw.) würden wir erwarten, dass sich diese Teilchen sehr ähnlich verhalten, wenn QED vernachlässigt werden kann (was oft der Fall ist, weil QED bei niedrigen Energien viel schwächer als QCD ist).

Als explizites Beispiel für die Verwendung der Symmetrie betrachten wir die Reaktionen:

$$\begin{align} & 1) \quad p p \rightarrow d \pi ^+ \\ & 2) \quad p n \rightarrow d \pi ^0 \end{align}$$ wo $d$ist Deuterium, ein Isospin-Singulett, und die Pionen bilden ein Isospin-Triplett. Für die erste Wechselwirkung ist der anfängliche Isospin-Zustand $\left| 1/2, 1/2 \right\rangle \otimes \left| 1/2, 1/2 \right\rangle = \left| 1, 1 \right\rangle$. Die Produkte haben Isospin $\left| 0,0 \right\rangle \otimes \left| 1,1 \right\rangle = \left| 1,1 \right\rangle$. Die zweite Wechselwirkung hat einen anfänglichen Isospin-Zustand, $\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \left| 0,0 \right\rangle + \left| 1,0 \right\rangle \right)$, und endgültiger Isospin, $\left| 0,0 \right\rangle$.

Da beide Fälle eine gewisse Überlappung zwischen den Isospin-Wellenfunktionen haben, können beide fortfahren. Der zweite Prozess hat jedoch einen Unterdrückungsfaktor von$1/ \sqrt{2}$bei der Kontraktion der Isospin-Wellenfunktionen. Um die Wahrscheinlichkeiten zu erhalten, müssen diese quadriert werden. Somit kann man schließen,

$$\begin{equation} \frac{ \mbox{Rate of 1} }{ \mbox{Rate of 2}} \approx 2 \end{equation}$$

Beachten Sie, dass wir sogar ohne Kenntnis der Besonderheiten des Systems eine sehr aussagekräftige Vorhersage treffen konnten. Alles, was wir wissen mussten, ist, dass der Prozess durch QCD erfolgt.

Ich weiß nicht, welchen Hintergrund Sie zu der Frage mitbringen. Lassen Sie mich auf die Gefahr hin, herablassend zu klingen, eine nüchterne Antwort geben. Ich frage mich, ob das hilft.

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Denken Sie an Drehungen auf der (realen) 2-dimensionalen Ebene$\mathbb{R}^2$. Sie können die X-Achse in die Y-Achse und die Y-Achse in die negative X-Achse drehen. Diese Gruppe von 2d-Rotationen wird aufgerufen$SO(2)$. Beachten Sie, dass hier jede Achse aus der Menge der reellen Zahlen besteht. Wenn stattdessen jede Achse dem Satz komplexer Zahlen entspräche, dann hätten wir die 2. komplexe Ebene$\mathbb{C}^2$. Drehungen in dieser Ebene würden der Gruppe entsprechen$SU(2)$und Sie können sich Protonen und Neutronen (eher ihre Wellenfunktionen) als die Basiselemente vorstellen, die dabei die beiden Achsen bilden$\mathbb{C}^2$Platz. Das "Dublett" bezieht sich auf zwei Achsen.

Dies$\mathbb{C}^2$bezieht sich nicht auf tatsächliche physikalische Dimensionen, sondern nur auf eine Eigenschaft von Protonen und Neutronen.

Ich bin ratlos, die "Bedeutung" davon zu erklären, abgesehen von der Tatsache, dass sich die Natur so verhält. Eine Konsequenz ist die Tatsache, dass Proton und Neutron ungefähr gleiche Massen haben, weil sie abgesehen davon, dass sie aufgrund dieser Eigenschaft unterschiedliche Achsen sind, ansonsten ziemlich ähnlich sein sollen.

Wenn Sie die Wellenfunktion (eines Teilchens) schreiben, konzentrieren Sie sich normalerweise auf sein räumliches Profil (in der einführenden Quantenmechanik) und vernachlässigen andere Eigenschaften, die es charakterisieren. Ebenso trägt jedes Teilchen auch eine Wellenfunktion, die jedem anderen Merkmal entspricht, und die vollständige Beschreibung beinhaltet das Aufschreiben aller Wellenfunktionen (Sie könnten die Wellenfunktionen, die allen verschiedenen Eigenschaften entsprechen, für das, was es wert ist, "multiplizieren"). So wie Sie vielleicht Operatoren gesehen haben, die auf den räumlichen Teil einer Wellenfunktion wirken, werden Sie auch Operatoren haben, die auf die Wellenfunktion wirken, die jeder Eigenschaft entspricht.