Konstruktion der Interaktions-Lagrange-Invariante unter Isospin-SU(2)SU(2)SU(2)-Transformationen

Das hier betrachtete Problem besteht, wie der Titel sagt, darin, eine Lagrange-Funktion zu konstruieren, die invariant bezüglich ist S U ( 2 ) Transformationen. Ich werde zunächst den Kontext und den Grund meiner Befragung darlegen und dann am Ende die Frage formulieren.

Physikalisch besteht das Problem darin, den einfachsten phänomenologischen Lagrangian des letzten Jahrhunderts für die NN-Streuung über eine Pion-Wechselwirkung mit Isospin-Invarianz zu bauen. Wir beschäftigen uns hier nur mit der Isospin-Invarianz und kümmern uns nicht um die Lorentz-Symmetrie.

Wir kategorisieren die drei Pionen als Pionentriplett in S U ( 2 ) adjungierte Darstellung, das ist ein Vektorraum mit drei Dimensionen (wir werden die Darstellungen im Folgenden als Dsomething schreiben). Außerdem kategorisieren wir das Proton und das Neutron als Dublett von S U ( 2 ) D 1 / 2 Darstellung, das ist ein 2d-Raum mit P Und N als Basisvektoren.

Nach meinem Verständnis (das falsch sein kann und dann korrigiert werden sollte) folgt die Konstruktion des invarianten Lagrange-Operators aus dem Bauen innerhalb der beiden Repräsentationsräume D 1 Und D 1 / 2 Invarianten sowohl vom Dublett als auch vom Triplett.

In der D1/2-Darstellung haben wir als Invariante den Term ψ T ψ , Wo ψ steht für das Wams und T für das Dolchsymbol.

Meine Probleme kommen, wenn ich diesen Begriff mit dem Triplett mischen muss ϕ der Pionen in der D1-Repr. Wenn ich nur den Begriff nehme ψ T ψ und setze es so, wie es ist, in die D1-Wiedergabe und multipliziere es mit ϕ Ich habe sicher keine Invariante (angenommen, die Größe \psi ^T \psi bleibt in derselben Form?).

Was ich in der Praxis gesehen habe ist, dass man den Begriff nehmen sollte Φ = τ k ϕ k , und konstruieren Sie dann die Invariante als L ich N T = ψ T Φ ψ = ψ T ϕ k τ k ψ . τ sind die Pauli-Matrizen in 2x2-Form als Erzeuger der Gruppe SU(2).

Frage :

Was ich nicht verstehe, ist, wie dieser Begriff in beiden Repräsentationsräumen konstruktionsbedingt invariant ist. Das liegt daran, dass der Begriff Φ ist ein Begriff, der meines Erachtens nicht in den D1-Raum gehört, sondern in den Raum von 2x2-Matrizen, in denen die Generatoren in 2x2-Form vorliegen und als Basisvektoren arbeiten. Was ich beunruhigend finde (und höchstwahrscheinlich aus den falschen Gründen?), Ist, dass meine Invariante auf diese Weise nicht zu den beiden Darstellungsräumen zu gehören scheint.

Also, wie ist dieses Rezept gerechtfertigt? Muss man für die Konstruktion von Invarianten in beiden Räumen auf dem Raum des direkten Produkts der beiden arbeiten oder muss sie die irreduziblen Darstellungen finden und dann irgendwie Invarianten darin konstruieren? Oder sollte man sich auf die Papiere stützen:

Papiere -

  1. S. Coleman, J. Wess und B. Zumino, Phys. Rev. 177, 2239 (1969).

  2. CG Callan, S. Coleman, J. Wess und B. Zumino, Phys. Rev. 177, 2247 (1969).

Oder am Ende sollte man herausfinden, wie man die Objekte der D1/2-Darstellung in der D1-Darstellung darstellt und dann die Invariante konstruiert. Es ist offensichtlich, dass ich mich irgendwo auf der Straße verlaufen habe. Wenn es sich nur um das Problem handelt, die irreduziblen Darstellungen des direkten Produkts von D1 und D1/2 zu finden, klären Sie bitte, wie dann die Wechselwirkung konstruiert werden soll, und ich werde an dem Problem arbeiten.

Hinweis: Man kann solche Lagrangianer und weitere Diskussionen in Artikeln wie finden

  1. http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0370157374900088

  2. http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0370157387800029

Kann jemand vermuten, warum der Beitrag herabgestimmt wurde? Wenn es einen Punkt gibt, der nicht klar ist, würde ich gerne Kommentare oder Änderungen vornehmen. Danke.

Antworten (1)

Lassen Sie uns den Isospin durch die Dimensionalitäten der Multipletts erklären, die am besten die Zustände zählen, also ist das Isospinor-Fermion ein Dublett, 2 , und der Isovektor-Skalar ist ein Triplett, 3 , der Adjungierte.

Also seit 2 ⊗ 2 ⊗ 3 = 5 ⊕ 3 ⊕ 3 ⊕ 1 , und Sie interessieren sich nur für das Singulett des Lagrange-Wechselwirkungsterms, müssen Sie sehen, wie es ivariant ist.

Die generische SU(2)-Isorotation im definierenden (Dublett, D 1 / 2 ) Vertretung ist U = exp ⁡ ich θ ⋅ τ , offensichtlich einheitlich, U † U = 1 1 .

Unter dieser generischen Rotation

ψ ↦ U ψ , ψ † ↦ ψ † U † , ϕ ⋅ τ ↦ U ϕ ⋅ τ U † = ϕ ⋅ ( U τ U † ) = ( ϕ − 2 θ × ϕ + . . . ) ⋅ τ = = ϕ ⋅ ( τ   cos ⁡ ( 2 θ ) + θ ^ × τ   Sünde ⁡ ( 2 θ ) + θ ^   θ ^ ⋅ τ   ( 1 − cos ⁡ ( 2 θ ) ) )   .
Der letzte Term in Klammern gibt für Sie an, wie sich das Triplett von τ s ( Pauli-Vektor ) durch die Ähnlichkeitstransformation ineinander transformieren, also wie das Triplett, D 1 , adjungierte Indizes wandeln sich in den symmetrischen (Triplett-) Teil der um 2 ⊗ 2 . (Dies ist nur die berühmte [Rotationsformel von Rodrigues] .) Dieses Verfahren des Drehens eines adjungierten Vektors durch eine doppelte Operation an den Fundamentalindizes des Pauli-Vektors, der ihn sättigt, wird stattdessen auf alle Gruppen verallgemeinert, also in SU (3) von QCD zum Beispiel, wo die 8x8-Matrizen riesig und chaotisch wären, aber der 3x3-"Gell-Mann-Vektor" spärlich und überschaubar ist.

Also offensichtlich,

ψ † U † U ϕ ⋅ τ U † U ψ = ψ † ϕ ⋅ τ ψ   ,
eine Invariante, in Ordnung. Es ist wirklich nichts anderes als das Zusammensetzen von Drehimpulsen zweier Spinoren mit einem Vektor und das Extrahieren des Singuletts.

Danke Professor, ich schätze Ihre Antwort und Hilfe. Kleinere Fragen: Sie schreiben 2x2x3 und nicht 2x3 für das direkte Produkt von Darstellungen; liegt daran, dass wir zwei Iso-Fermionen in der Streuung haben oder weil Sie beide verwenden ψ Und ψ Dolch?
Können wir auch sagen, dass die Transformation von ϕ ⋅ T ist eine Drehung eines Vektors, indem gezeigt wird, dass der Absolutwert von ϕ Bleibt das selbe; aber in welchem ​​Vektorraum findet diese Drehung statt? Warum gibt uns diese Drehung die Transformation des adjungierten Vektors in der fundamentalen Darstellung (oder habe ich das falsch verstanden)? Und nur zur Präzisierung: Wie und was heißt nun der Begriff in beiden nun invarianten Repräsentationsräumen; oder haben wir die Invarianten jetzt in einem anderen Raum? Nochmals vielen Dank und wenn es Referenzen gibt, von denen ich studieren könnte, informieren Sie mich bitte.
Zwei Isospinoren, jeder in seinem eigenen 2D-Raum, verbinden sich zu einem 3D-Isovektor, ψ † τ ich ψ , die auf einen Isovektor mit fester Größe punktiert ist ϕ ich um das Isosinglet zu ergeben. Alle Isorotationen befinden sich im internen Isospinraum, sind aber formal identisch mit Raumrotationen. Sie lernen die Rotationsgruppe in grundlegenden Büchern zur Quantenmechanik kennen, in denen Sie alle Drehimpulsübungen machen müssen, um die grundlegende Theorie der Gruppendarstellung zu verstehen.
Kann ich sagen, dass die Ähnlichkeitstransformation von τ k einen Basiswechsel im Raum der Algebra impliziert, da die Algebra isomorph zur adjungierten Darstellung ist, indem letztere als Abbildung der Algebra definiert wird? Also ändern wir die Basis vom Triplett des φ zur Basis von τ. Danke.
Bis zu einem gewissen Punkt vielleicht. Aber dieser Basiswechsel ist eine Rotation, die umgekehrte Isorotation von φ , die Sie gesehen haben, funktionierte.
Konstruktion der Interaktions-Lagrange-Invariante unter Isospin-SU(2)SU(2)SU(2)-Transformationen
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