Mehrdeutigkeit bei der Reihenfolge der Isospin-Zustände für Clebsch-Gordan-Koeffizienten

Beim Studium des Isospins für die Kernphysik bin ich etwas verwirrt durch eine Zweideutigkeit, die ich gefunden habe.

Wenn ein Prozess, der von geht K − + P → Σ 0 + π 0 , kann ich den Isospin für die linke Seite schreiben als | K − + P ⟩ = | 1 2 − 1 2 ⟩ | 1 2 1 2 ⟩ aber wenn wir dies mit Clebsch-Gordan-Koeffizienten zerlegen, erhalten wir | 1 2 − 1 2 ⟩ | 1 2 1 2 ⟩ = 1 2 | 1 0 ⟩ − 1 2 | 0 0 ⟩ .

Wenn ich jedoch die Reihenfolge ändere, die mir völlig willkürlich erscheint, erhalten wir | P + K − ⟩ = | 1 2 1 2 ⟩ | 1 2 − 1 2 ⟩ aber wenn wir dies mit Clebsch-Gordan-Koeffizienten zerlegen, erhalten wir | 1 2 1 2 ⟩ | 1 2 − 1 2 ⟩ = 1 2 | 1 0 ⟩ + 1 2 | 0 0 ⟩ .

Vielleicht spielt das keine Rolle, aber wenn wir zum Beispiel eine Streuamplitude berechnen wollen, wo | Σ 0 + π 0 ⟩ = 2 3 | 2 0 ⟩ − 1 3 | 0 0 ⟩ , M ( K − + P → Σ 0 + π 0 ) = − 1 6 ⟨ 0 0 | M | 0 0 ⟩ , Aber M ( P + K − → Σ 0 + π 0 ) = 1 6 ⟨ 0 0 | M | 0 0 ⟩ .

Offensichtlich lässt dies den Querschnitt immer noch invariant, aber ich kann mir Prozesse vorstellen, bei denen wir etwas anderes hinzufügen, um so etwas zu erhalten M = A − B Und M = A + B Wenn ich die Reihenfolge von zwei Anfangszustandsteilchen umkehre, dann ist mein Problem das seit σ ∼ | M | 2 , das stimmt nicht unbedingt σ = | A − B | 2 Und σ = | A + B | 2 gleich sind, obwohl sie es eigentlich sein sollten.

Gibt es eine allgemeine Regel für die Anordnung von Partikeln? Ich habe das Gefühl, dass die Wahl der Reihenfolge der Partikel willkürlich ist, aber zu unterschiedlichen Ergebnissen führen kann.

Dies ist ein altes Thema, also muss ich etwas Grundsätzliches übersehen.

Antworten (1)

Die Notation | ϕ ⟩ | ψ ⟩ ist eine Abkürzung für | ϕ ⟩ ⊗ | ψ ⟩ .

Was Sie tun, ist ein Tensorprodukt umzudrehen. Obwohl im Allgemeinen A ⊗ B = B ⊗ A , das ist nicht der Fall A ⊗ B = B ⊗ A für A ∈ A , B ∈ B (da die linke und die rechte Seite nicht einmal im selben Raum leben.

Sie müssen die Leerzeichen beschriften und sich daran halten. In diesem Fall gibt es den Isospinraum H K für die K und der Isospinraum H P für die P . Obwohl sie isomorph sind , sind sie nicht gleich . In einem Fall sind Sie Clebsch-Gordan, der sich zersetzt H K ⊗ H P , im anderen ist es H P ⊗ H K .

Wenn Sie bei dieser Bezeichnung bleiben und alle Zustände gleich schreiben, müssen Sie also entscheiden, ob H K ⊗ H P oder H P ⊗ H K der Isospinraum für die Anfangszustände (und ebenso für die Endzustände) ist, garantiert die abstrakte Isomorphie der Tensorprodukte, dass Sie mit relativen Vorzeichen keinen Fehler machen, wie Sie befürchten. Beachtet man das nicht, kann man sich tatsächlich Vorzeichenfehler einhandeln, da man im Grunde zwei unterschiedliche Zustandsräume für dasselbe verwendet.

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