Wie werden die Erzeuger von SU(3)SU(3)\mathrm{SU}(3) auf dem Gluonenraum dargestellt?

Ich habe mir einige neue Vorlesungen über QCD aus Colorado angesehen und habe ein paar Fragen zu dem, was ich gehört habe:

Der λ ich J A sind Generatoren von S U ( 3 ) in der fundamentalen Darstellung so sind 3 × 3 Matrizen. Das liegt daran, dass die ich J Indizes sind Farbindizes und wirken auf a 3 × 1 Vektor im Farbraum (die Farbwellenfunktion der Quarks). Es gibt 8 Generatoren (gekennzeichnet durch den Index ' A ') also die λ sind Vektoren in dem, was der Professor im Colorado-Video „Gluonenraum“ nennt. Dieser Gluonenraum wird von acht unabhängigen, nicht trivial transformierenden Farboktettzuständen in einem achtdimensionalen realen Hilbertraum aufgespannt, sodass jeder dieser Zustände auf einen Einheitsvektor im realen Hilbertraum abgebildet werden kann, dh jeder ist a 8 × 1 Einheitsbasisvektor.

Mein Verständnis aus dem Video war, dass die Darstellung der λ im Farbraum sind die 3 × 3 Gellmann-Matrizen, die auf die Farbkomponente der in die Fundamentaldarstellung eingebetteten Quarkfelder einwirken. Wie werden diese Lambda als Vektoren im Gluonenraum dargestellt und worauf wirken sie?

In der Gleichung A μ = A A μ λ A / 2 sagen wir, dass die Gluonen genau die Erzeuger von SU( 3 ) in der fundamentalen Darstellung, die zu nicht-trivialen Farbtransformationen im Farbraum führen, die sich beim Einwirken auf Quark-Farbwellenfunktionen um die Farben mischen? Diese Gleichung sagt uns auch, dass die Gluonen in der Lie-Algebra von leben S U ( 3 ) seit dem Gluon A μ kann in der Basis von Generatoren erweitert werden T A = λ A / 2 . Die Lügenalgebra ist 8-dimensional, aber warum sagen wir, dass sie sich unter der adjungierten Darstellung von transformieren S U ( 3 ) ? Ich denke, es stellt einen Kontakt zum Obigen dar, indem wir jedes mögliche Gluon als Basisvektor in einem achtdimensionalen Raum aufschreiben können, aber wodurch werden sie transformiert?

Antworten (1)

Die Lie-Algebra und die "adjungierte Darstellung" einer Lie-Gruppe sind fast per Definition gleich.

Wenn wir von „Generatoren“ sprechen, meinen wir meist eine Basis der Lie-Algebra, in diesem Fall mit bezeichnet λ A , A ∈ { 1 , 2 , … , 8 } . Die Indizes ich , J In λ ich J A für die Gell-Mann-Matrizen laufen von 1 bis 3 und λ ich J A ist einfach die ich J -ter Eintrag in λ A *in der fundamentalen Darstellung von S u ( 3 ) (also in der Darstellung als 3 × 3 -Matrizen). Die Quarks wandeln sich in die Fundamentaldarstellung also um λ A wirken auf ihre 3D-Farbvektoren als Multiplikation mit diesen Gell-Mann-Matrizen.

Wie jedes andere Eichfeld transformiert sich das Gluonenfeld in den Adjungierten der Eichgruppe, weil es Lie-Algebra-wertig ist. Die adjungierte Darstellung wird durch die Aktion der definiert λ A auf jedem anderen λ B als [ λ A , λ B ] , dh die Repräsentationsabbildung ist durch die Lie-Klammer gegeben S u ( 3 ) → E N D ( S u ( 3 ) ) , λ A ↦ [ λ A , − ] . Da die Strukturkonstanten der Lie-Algebra definiert sind als [ λ A , λ B ] = F C A B λ C (mit gültiger Summationskonvention) können wir die Aktion von schreiben λ A übereinander λ B ebenso wie F C A B λ C , also ein "Gluonenvektor" A A λ A verwandelt sich in A A F C A B λ C wenn darauf eingewirkt wird λ B . Wenn Sie also die schreiben möchten λ B Als ein 8 × 8 Matrix, die Komponenten dieser Matrix sind nur die Strukturkonstanten F J ich B !

Beachten Sie, dass das Gluonenfeld Lie-Algebra-bewertet ist und nicht von Natur aus "in der fundamentalen Darstellung", wie Sie zu denken scheinen. Wenn das Gluonfeld an die Quarks koppelt, wirkt es auf sie wie die Gell-Mann-Matrizen, da sich die Quarks in der Grundschwingung befinden, aber bei den Gluon-Gluon-Kopplungen erhalten wir die Strukturkonstanten/adjungierte Wirkung, weil ein Gluonfeld auf ein anderes wirkt Gluonenfeld durch die Lie-Klammer.

Danke für die Antwort! Einige Anmerkungen: Unter einer Darstellung verstehe ich eine homomorphe Abbildung einer Gruppe G zu einer Reihe von Operatoren G L ( v ) wirkt auf einen linearen Vektorraum v . Wie stimmt diese Definition mit der Karte überein, die Sie durch die Lügenklammer gegeben haben? Ist ein Tippfehler drin A A F C A B λ A ? Schließlich habe ich mich gefragt, ob Sie mir eine Referenz geben könnten, wo ich die Kommentare finden könnte, die Sie über die Gluonen geschrieben haben - der Inhalt eines Großteils des dritten Absatzes dort ist mir neu und ich habe ihn nicht gesehen Ende in diesem Zusammenhang zuvor verwendet. Danke noch einmal!
@CAF Beachten Sie, dass ich die Repräsentationskarte gebe G → E N D ( v ) der Lie-Algebra . Es gibt eine entsprechende Repräsentationskarte von Lie-Gruppen G → G L ( v ) (die Lie-Algebra von G L ( v ) Ist E N D ( v ) ). Ja, da war ein Tippfehler. Als Referenz sollte jede Einführung in die nicht-Abelsche Yang-Mills-Theorie diese Punkte diskutieren, wenn auch nicht in den genauen Worten, die ich hier gewählt habe. Siehe zum Beispiel die Kapitel 6 und 9 hier .
OK danke. Ich denke, ich hätte nach einer Referenz fragen sollen, wo diese Karte enthalten ist Ende wird im Zusammenhang mit der adjungierten Aktion diskutiert. Könnten Sie einen zur Verfügung stellen? zB bin ich mit der Schreibweise nicht vertraut [ λ A , − ] usw
@CAF Ich vermute, Sie überdenken das: E N D bezeichnet einfach die Endomorphismen von v - die im Klartext für ein n-dimensionales stehen v nur alle quadratischen Matrizen der Dimension N . [ λ A , − ] soll die lineare Abbildung bezeichnen, die sich ergibt, wenn man die Lie-Klammer mit nimmt λ A , wird es auch oft geschrieben A D λ A , vgl. zB der Wikipedia-Artikel über adjungierte Darstellungen.
Die Adjoint-Aktion auf der Ebene der Lügengruppe nimmt, denke ich, die Form an A D G : S U ( 3 ) → G L ( 8 ) mit X ↦ G X G − 1 . Gegeben G = 1 + ϵ λ A , X = 1 + ϵ λ B , zur Erstbestellung ϵ , ergibt diese Abbildung gerade X , das ist G X G − 1 = X . Was bedeutet das?
Wie werden die Erzeuger von SU(3)SU(3)\mathrm{SU}(3) auf dem Gluonenraum dargestellt?
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