Wie viele Farben gibt es wirklich in QCD?

Farbladung ist ein allgemeiner Begriff, der beschreibt, wie sich ein Teilchen darunter umwandelt$SU(3)$Transformationen, dh was ist sein$SU(3)$Darstellung.

Die Begriffe Rot, Grün und Blau beziehen sich auf die grundlegende oder definierende Darstellung von$SU(3)$das ist 3 dimensional. Rot, Grün und Blau beziehen sich in dieser Darstellung auf die drei Basisvektoren, die mit bezeichnet sind$| r \rangle$,$| g \rangle$,$| b \rangle$. Dies ist die Darstellung, in der die Quarks leben, sodass wir Quarks eine rote, grüne oder blaue Farbe zuordnen können.

Gluonen leben in der adjungierten Darstellung, die 8-dimensional ist. Wir führen kein "neues" Farbsystem für die adjungierte Darstellung ein, weil es eine wunderbare Eigenschaft gibt, die es erlaubt, die 8 Basisvektoren der adjungierten Darstellung aus den 3 Farben Rot, Grün und Blau der Fundamentaldarstellung zu konstruieren. Wir nutzen die erstaunliche Eigenschaft (die gilt für$SU(N)$Im Algemeinen),

$$F \otimes {\bar F} = A \oplus 1 \tag{1}$$ was besagt, dass das Tensorprodukt der fundamentalen und der antifundamentalen (konjugierten fundamentalen) Darstellung in die adjungierte Darstellung und die triviale Darstellung zerfällt.

Genauer gesagt liegen die 9 Basisvektoren auf der LHS von (1).

$$\begin{align} | r \rangle | {\bar r} \rangle , | r \rangle | {\bar g} \rangle , | r \rangle | {\bar b} \rangle \\ | g \rangle | {\bar r} \rangle , | g \rangle | {\bar g} \rangle , | g \rangle | {\bar b} \rangle \\ | b \rangle | {\bar r} \rangle , | b \rangle | {\bar g} \rangle , | b \rangle | {\bar b} \rangle \\ \end{align}$$ Die adjungierte Darstellung erhält man daraus, indem man die Singulett-Darstellung (trivial) aus dem Obigen entfernt , was man durch Setzen erreichen kann $$| r \rangle | {\bar r} \rangle + | g \rangle | {\bar g} \rangle + | b \rangle | {\bar b} \rangle = 0 .$$ Dies ergibt insgesamt 8 Basiszustände in der adjungierten Darstellung. Dies ist die Darstellung, in der das Gluon lebt, also gibt es 8 Gluonen. Aber wie gesagt, wir führen keine 8 neuen Farben ein, um diese Gluonen zu beschreiben, da wir die 3 Grundfarben Rot, Grün und Blau einfach kombinieren können.

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BEARBEITEN - Lassen Sie mich auch den Unterschied zwischen den erklären$U(1)$Fall und die$SU(3)$Fall.$U(1)$ist eine abelsche Gruppe, daher sind alle ihre Darstellungen eindimensional. Um die Darstellung (auch elektromagnetische Ladung genannt) zu kennzeichnen, benötigen Sie daher nur eine Nummer,$n$. Seitdem weiter$U(1)$Eine kompakte Gruppe ist, müssen wir auch haben$n \in {\mathbb Z}$.

Andererseits,$SU(3)$ist eine nicht-abelsche Gruppe, also hat sie viele$k$dimensionale Darstellungen für$k > 1$. Gegeben ein$k$dimensionale Darstellung, Zustände in dieser Darstellung sind mit gekennzeichnet$k$Zahlen,$a_1,\cdots,a_k$.

Ein Quark lebt in der dreidimensionalen fundamentalen Darstellung, also brauchen wir im Allgemeinen 3 Zahlen, um seinen Zustand darzustellen. Allgemein ist ein Quarkzustand von der Form

$$| q \rangle = a_1 | r \rangle + a_2 | g \rangle + a_3 | b \rangle$$ Wenn wir sagen, dass ein Quark rot ist, meinen wir damit, dass es Markierungen hat$(a_1,a_2,a_3) = (1,0,0)$. Natürlich kann sich ein Quark im Allgemeinen in jeder Superposition von Zuständen befinden.

Ein Gluon ist in der 8-dimensionalen adjungierten Darstellung, also wird es im Allgemeinen mit 8 Zahlen bezeichnet

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EDIT 2: Es sieht so aus, als hätte ich die Frage von OP missverstanden. Anscheinend wollten sie nach der Ähnlichkeit (oder dem Unterschied) zwischen den abelschen und den nicht-abelschen Transformationsgesetzen fragen.

Im abelschen Fall ist das Transformationsgesetz

$$\psi \to e^{ i \theta n } \psi$$ Hier,$\theta$bezeichnet den Parameter für die Transformation und$n$beschriftet die Darstellung unter denen$\psi$transformiert (auch bekannt als seine elektrische Ladung).

Im nicht-abelschen Fall gilt das Transformationsgesetz

$$\psi \to e^{ i \theta^a T^a } \psi$$ Hier$\theta^a$sind die Parameter für die Transformation (analog zu$\theta$im$U(1)$Fall) und die Generatoren$T^a$Darunter sind die Generatoren in der Darstellung$\psi$transformiert (analog zu$n$im$U(1)$Fall).

Als Beispiel, wenn die Gruppe ist$SU(2)$Dann

1. Wenn$\psi$transformiert sich dann in die triviale Darstellung$T^a = 0$.

2. Wenn$\psi$transformiert sich dann in die fundamentale Darstellung$T^a = \frac{1}{2} \sigma^a$Wo$\sigma^a$sind die Pauli-Matrizen.

3. Wenn$\psi$transformiert sich dann in die adjungierte Darstellung

   $$T^1 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \\ \end{array} \right) , \qquad T^2 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 \\ \end{array} \right) , \qquad T^3 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) .$$

Ebenso kann man alle Matrizen für aufschreiben$SU(3)$auch, aber es ist länger, also werde ich mich hier nicht darum kümmern (siehe hier ).

Um es noch einmal zu sagen – die „Ladung“ eines Teilchens entspricht immer seiner Darstellung in der Symmetriegruppe. Für die$U(1)$Gruppe werden Repräsentationen durch eine ganze Zahl gekennzeichnet$n$also rufen wir an$n$die elektrische Ladung. Im nicht-abelschen Fall werden Repräsentationen nicht nur durch eine ganze Zahl gekennzeichnet, sodass die Kennzeichnung nicht so einfach ist. In diesem Fall geben wir der Darstellung einfach einen Namen. In dieser Sprache würden wir sagen, dass die Farbladung eines Quarks „fundamental“ und die Farbladung eines Gluons „adjungiert“ ist.

Innerhalb einer Repräsentation gibt es viele Zustände! Wieder rein$U(1)$Falldarstellungen sind eindimensional, sodass jede Darstellung nur EINEN (eindeutigen) Zustand enthält. Daher abgesehen von der Ganzzahl$n$es sind keine weiteren Informationen erforderlich, um diesen Zustand zu beschreiben.

Im nicht-abelschen Fall sind Repräsentationen höherdimensional, um also den Zustand des Teilchens zu beschreiben, benötigt man mehr Informationen als nur seine Repräsentation – wir müssen den genauen Vektor spezifizieren. Die Farbladung eines Quarks ist also "fundamental", und sein Farbladungszustand kann rot, grün oder blau (oder eine Überlagerung davon) sein.