SU(2)SU(2)SU(2) Eichsymmetrie

Question

SU(2)SU(2)SU(2) Eichsymmetrie

Physik
Yang-Mühlen
Lügen-Algebra
Eichtheorie
Gauge-Symmetrie
Gruppendarstellungen

KoObO

Nehmen Sie den Lagrange-Operator mit einem Fermion:

L = - \frac{1}{4} F_{A}^{μ v} F_{μ v}^{A} + \bar{ψ} (ich γ^{μ} D_{μ} - M) ψ

$\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F^{\mu\nu}_aF^a_{\mu\nu} + \bar{\psi}(i\gamma^\mu D_\mu - m)\psi$ wobei die kovariante Ableitung der Eichung

D_{μ} = \partial_{μ} + i \frac{g}{2} t^{a} W_{μ}^{a}

$D_\mu = \partial_\mu+i\frac{g}{2}t^aW^a_\mu$ . Die Lagrange-Funktion ist invariant unter einem Lokal

S U (2)

$SU(2)$ Transformation:

ψ (X) \to \exp [- ich θ^{A} (X) T^{A}] ψ (X)

$\psi(x) \rightarrow \exp \left[-i\theta^a(x)t^a \right]\psi(x)$

W_{μ}^{A} (X) \to W_{μ}^{A} (X) + \frac{1}{G} \partial_{μ} θ^{A} (X) + ϵ^{A B C} θ^{B} (X) W_{μ}^{C} (X)

$W^a_\mu(x) \rightarrow W^a_\mu(x) +\frac{1}{g}\partial_\mu\theta^a(x) + \epsilon^{abc}\theta^b(x)W^c_\mu(x)$

Oft sagen wir das $W_\mu^a$ transformiert gemäß der adjungierten Darstellung von $SU(2)$ aber wie können wir das basierend auf der vorherigen Gleichung sagen?

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Jäger · Answer 1

Beachten Sie, dass die endliche Transformation von:

W_{μ}^{A} \to W_{μ}^{A} + \frac{1}{G} \partial_{μ} θ^{A} + ϵ^{A B C} θ^{B} W_{μ}^{C}

$W^a_\mu \to W^a_\mu + \frac{1}{g} \partial_\mu \theta^a + \epsilon^{abc} \theta^b W^c_\mu$ Ist:

\begin{matrix} (1) & W_{μ}^{A} T^{A} \to G W_{μ}^{A} T^{A} G^{- 1} + \frac{ich}{G} \partial_{μ} G \end{matrix}

$W^a_\mu t^a \to g W_\mu^a t^a g^{-1} + \frac{i}{g} \partial_\mu g \tag{1}$ Wo:

G = \exp (- ich θ^{A} T^{A}) Und [T^{A}, T^{B}] = ich ϵ^{A B C} T^{C}

$g = \exp(-i \theta^a t^a) \;\;\; \text{and} \;\;\; [t^a,t^b] = i \epsilon^{abc} t^c$ Also der erste Term auf der rechten Seite der Gleichung

(1)

$(1)$ transformiert sich unter die adjungierte Darstellung der Lie-Gruppe . Der zweite Term wird unter der adjungierten Darstellung nicht transformiert, aber es sollte leicht zu überprüfen sein, dass das transformierte Eichfeld immer noch Werte in der Lie-Algebra annimmt (Hinweis: Das Betrachten von infinitesimalen Transformationen ist die einfachste Methode, dies zu überprüfen).

Falls Sie weitere Informationen zur adjungierten Darstellung der Lie-Gruppe wünschen, lohnt es sich möglicherweise, sich diese Frage anzusehen .

Vielen Dank für Ihre Antwort. Ich denke, mein Problem ist, dass ich falsch verstehe, was "transformiert unter" wirklich bedeutet. Sagen Sie mir, wenn ich falsch liege: Nehmen wir $SU(3)$ , für die $\mathbf{3}$ mit Dynkin-Indizes (1,0) transformiert sich ein Zustand wie folgt: $\psi(x) \rightarrow g\psi(x)$ . Für die $\bar{\mathbf{3}}$ (0,1), ein Zustand transformiert sich wie folgt: $\phi(x) \rightarrow \phi(x) g^{-1}$ . Und für die adjungierte Darstellung (1,1) : $\mathcal{O} \rightarrow g \mathcal{O} g^{-1}$ . Aber dann, wenn ich zurückkomme $SU(2)$ , weil das $\mathbf{2}$ Und $\mathbf{\bar 2}$ äquivalent sind, sollten sie sich auf die gleiche Weise umwandeln?
@KoObO Um ehrlich zu sein, bin ich mit Dynkin-Indizes nicht wirklich vertraut. Ein Feld, das Werte in der Lie-Algebra annimmt, dh $\phi \in \mathfrak{g}$ , wird sich unter der adjungierten Darstellung als transformieren $\phi \to g \phi g^{-1}$ und nimmt wieder Werte in der adjungierten Darstellung an, dh $g \phi g^{-1} \in \mathfrak{g}$ . Der einfachste Weg, dies zu verstehen, ist, sich meine hier gegebene Antwort anzusehen . Das ist der springende Punkt bei der Transformationseigenschaft des Eichfelds
sie leben in der Lie-Algebra vor und nach einer Transformation. Dies ist wahrscheinlich der Grund, warum die Leute sagen, dass sich die Eichfelder unter der adjungierten Darstellung transformieren.
@KoObO Schließlich ist es erwähnenswert, dass Sie darauf achten sollten, die adjungierte Darstellung einer Lie-Gruppe und die adjungierte Darstellung einer Lie-Algebra nicht zu verwechseln .
Ok ich glaube ich habe verstanden. Danke für deine Antwort(en)!
@KoObO kein Problem! Wenn Sie auch die Antwort auf Ihren ersten Kommentar (in Bezug auf Dynkin-Indizes) wissen möchten, dann denke ich, dass es eine sehr berechtigte Frage ist, sie hier zu stellen. Mich persönlich würde eine Antwort interessieren!
Hier ist die Frage: physical.stackexchange.com/questions/108919/…

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