Kommutator von Eichtransformationen für die Yang-Mills-Theorie

Den Konventionen der „Quantenfeldtheorie und des Standardmodells“ von Schwartz folgend haben wir, dass für die Yang-Mills-Theorie eine infinitesimale Eichtransformation wie wirkt

$$\delta_{\alpha} A = d\alpha - i\left[A, \alpha\right].$$

Ich versuche, den Kommutator von zwei Eichtransformationen zu berechnen, die ich erwarte

$$\left[\delta_{\alpha},\delta_{\beta}\right]A = i\delta_{\left[\alpha, \beta\right]}A.$$

Dies ist jedoch nicht das, was ich finde. Bei der Berechnung finde ich das

$\left[\delta_{\alpha},\delta_{\beta}\right]A = \delta_{\alpha}\delta_{\beta}A - \delta_{\beta}\delta{_\alpha}A = \delta_{\alpha}\left(d\beta - i\left[A, \beta\right]\right) - \delta_{\beta}\left(d\alpha - i\left[A, \alpha\right]\right) = d\alpha - i\left[d\beta - i\left[A, \beta\right], \alpha \right] - d\beta + i\left[d\alpha - i\left[A, \alpha\right],\beta\right] = d\alpha -d\beta - i\left[ d\beta, \alpha\right] - \left[\left[A,\beta\right],\alpha\right] + i\left[d\alpha, \beta\right] + \left[ \left[A,\alpha\right], \beta \right]$

Einige der Kommutatoren können vereinfacht werden, indem man dies erkennt

$\left[d\alpha, \beta\right] - \left[d\beta, \alpha\right] = d\alpha\beta - \beta d\alpha - d\beta \alpha + \alpha d\beta = d\left(\alpha\beta\right) - d\left(\beta\alpha\right) = d\left[\alpha, \beta\right]$.

Wir können auch die Jacobi-Identität verwenden, um das zu sehen

$\left[\left[A,\alpha\right], \beta\right] - \left[\left[A, \beta\right], \alpha\right] = \left[\left[A,\alpha\right], \beta\right] + \left[\left[\beta, A\right], \alpha\right] = -\left[\left[\alpha, \beta\right], A\right]$.

Wenn wir alles zusammenfügen, haben wir das

$\left[\delta_{\alpha},\delta_{\beta}\right]A = d\alpha - d\beta + id\left[\alpha, \beta\right] + \left[A, \left[\alpha, \beta\right]\right] = i\delta_{\left[\alpha, \beta\right]}A + d\alpha - d\beta$.

Meine Frage ist, warum hat das extra$d\alpha - d\beta$erschienen? Führe ich einen Schritt in der Berechnung falsch aus oder übersehe ich etwas konzeptionell? Bei der Überprüfung habe ich auch den Kommutator berechnet, indem ich mit der Identität begonnen habe

$e^{i\delta_{\alpha}}e^{i\delta_{\beta}}e^{-i\delta_{\alpha}}e^{-i\delta_{\beta}}A = (1 - \left[\delta_{\alpha}, \delta_{\beta}\right])A + \mathcal{O}(\alpha^2)$.

Hier habe ich die Finite-Eich-Transformationen auf der linken Seite angewendet, erweitert auf die zweite Ordnung in$\alpha$Und$\beta$, und übereinstimmende Begriffe mit der rechten Seite. Danach fand ich$\left[\delta_{\alpha},\delta_{\beta}\right]A = i\delta_{\left[\alpha, \beta\right]}A$, wie erwartet, also bin ich mir ziemlich sicher, das Extra$d\alpha - d\beta$Terme sollten nicht vorhanden sein, aber ich verstehe nicht, wo mein Fehler liegt, wenn ich mit dem Infinitesimal-Fall beginne.