Warum müssen die Generatoren von SU(N)SU(N)\mathrm{SU(N)}-Eichtheorien N×NN×NN \times N Matrizen sein?

Sie sollten auch die Repräsentation angeben .

Die Darstellung, die eine SU(N)-Lie-Gruppe mit einer N×N-Matrix erfordert, wird Fundamentaldarstellung genannt . Welches im Standardmodell U(1) x SU(2) x SU(3) verwendet wird.

Sie können sicherlich SU(N) Lie-Gruppen mit anderer Repräsentation haben, wie z. B. Adjoint Representation , dann werden in diesem Fall SU(N) durch eine Matrix mit einem Rang der Nummer ihres Gruppenelements dargestellt$d(G)$, das ist Rang-$(N^2-1)$. dh$(N^2-1)$X$(N^2-1)$Matrix. In diesem Fall ist die adjungierte Darstellung für eine Lie-Gruppe G eine Möglichkeit, die Elemente der Gruppe als lineare Transformationen der Lie-Algebra der Gruppe darzustellen. Also der Generator$(T^a)_{bc}=-if_{ab}{}^c$, nimmt seinen Wert als Strukturkonstante an. (Hier$[T^a,T^b]=i f_{ab}{}^c T^c$.)

Es gibt also überhaupt kein Rätsel.

Jede Lie-Gruppe hat einen Satz von Generatoren, und typischerweise wird ein Gruppenelement durch Potenzieren (lineare Kombinationen) dieser Generatoren gefunden.

Da die grundlegende Definition von sagen$SU(N)$[ähnlich$SO(N)$] ist so etwas wie

Die Gruppe der unitären (orthogonalen),$n$von$n$Matrizen mit Einheitsdeterminante

dann ist die fundamentale Darstellung gegeben durch$n$von$n$Matrizen.

Die Gruppe wird jedoch von der Algebra erzeugt. Daher erzeugt jeder Satz von "Matrizen", die die Kommutierungsbeziehungen erfüllen, die die Algebra definieren, eine neue (wahrscheinlich inäquivalente) Darstellung der Gruppe.

Beispiele

Triviale Darstellung: Wenn alle Erzeuger Null sind,$T^a = 0, \; \forall \; a$, ist jede Lie-Algebra erfüllt. Und die Gruppendarstellung ist die skalare Einheit$1$. Dies wird als triviale Darstellung bezeichnet.

Adjungierte Darstellung: Eine Darstellung der Dimension gleich der Dimension der Gruppe, dh ,$n$von$n$Matrizen wo$n=\mathrm{dim}(G)$, kann definiert werden, indem die Generatoren mit den Strukturkonstanten der Gruppe identifiziert werden (wie von @Idear in einer anderen Antwort auf diese Frage hervorgehoben,

Zusätzlich kann man weitere Darstellungen der Gruppe „erzeugen“, indem man die bekannten Darstellungen multipliziert (über das Tensorprodukt) oder addiert (über die direkte Summe). Nichtsdestotrotz sind die Ergebnisse dieser Operation nicht notwendigerweise irreduzible Repräsentationen (oder Irreps), aber das ist Thema für einen anderen Beitrag!

;-)