Wie impliziert nicht-Abelsche Eichsymmetrie die Quantisierung der entsprechenden Ladungen?

Ich habe in einem Buch eine ungerechtfertigte Behandlung gelesen, in der es heißt, dass in QED eine Ladung nicht nach dem Eichsymmetrieprinzip quantisiert wird (was für mich völlig klar ist: Q der Generator von U ( 1 ) kann alles drin sein R ), aber für nicht-Abelsche Eichsymmetrien wird die "Ladung" aufgrund dieses Prinzips quantisiert. Könnte jemand einen Hinweis (oder eine Referenz) auf die Berechnung geben, die das zeigt.

Hm, interessante Frage. Ich kann mir auf Anhieb keinen Grund vorstellen, warum Nicht-Abelsches Verhalten speziell zu einer Quantisierung der Ladung führen würde, aber ich bin gespannt, was die Leute sich einfallen lassen.
Es ist die Eigenschaft der nicht-Abelschen Eichinvarianz, dass alle Materiefelder mit dem Eichfeld mit derselben Kopplung (oder Kopplungen im Fall einer nicht einfachen Eichgruppe) wechselwirken. Andernfalls können Sie die Lagrange-Eichung nicht invariant machen. Das ist gleichbedeutend damit, dass die Ladungen aller Felder allein durch die Struktur der Eichgruppe und deren Darstellungen bis hin zu einem Gesamtmaßstab bestimmt werden, der in die Neudefinition der Kopplung eingehen kann.
Ok danke für die Antwort. Ich hatte das bereits gesehen, wie die q + g -> q + g-Amplitude, die erfordert, dass das g der Fermion-Gauge-Kopplung dasselbe ist wie das g in der EIN μ EIN v ∂ μ EIN v aber ich dachte an eine Quantisierung in der gleichen Weise wie magnetische Monopole die elektrische Ladung quantisieren.
Diese Referenz definiert Ladder-Operatoren basierend auf den Gauge-Generatoren, die den Isospin erhöhen und senken. Ich vermute, dass dies ähnlich funktioniert wie Drehimpulsleiteroperatoren in der elementaren QM, wo sie zur Quantisierung des Drehimpulses führen. Im abelschen Fall würden die Kommutatoren verschwinden, also wäre dies zum Scheitern verurteilt. (Nicht als Antwort posten, weil ich nicht sicher bin, ob es richtig ist, aber es ist etwas, das man sich ansehen sollte ...)

Antworten (2)

Beachten Sie zunächst, dass die echte Abelian Lie-Gruppe U ( 1 ) gibt es in zwei (multiplikativ geschriebenen) Versionen:

  1. Kompakt U ( 1 )   ≅   e ich R   ≅   S 1 , und

  2. Nicht kompakt U ( 1 )   ≅   e R ≅   R + ∖ { 0 } .

Beachten Sie auch, dass wir in der physikalischen Literatur häufig Ladungsoperatoren mit Lie-Algebra-Generatoren für eine Cartan-Subalgebra (CSA) der Eich- Lie-Algebra identifizieren .

Beachten Sie außerdem, dass die Auswahl der CSA-Generatoren nicht eindeutig ist, siehe auch diese Antwort . Die Mehrdeutigkeit bei der Konventionswahl von Ladungsoperatoren ist ähnlich der Mehrdeutigkeit bei der Konventionswahl von Spinoperatoren, siehe auch diese Frage . Wir gehen von nun an davon aus, dass wir uns konsequent nur an eine solche mögliche Konvention halten.

Bei einer Lie-Algebra-Darstellung werden die Eigenwerte des Ladungsoperators Ladungen genannt.

Lassen Sie uns nun kurz einige Überlieferungen und Fakten zu OPs Frage (v2) skizzieren.

  1. Wir beobachten in der Natur, dass abelsche und nicht-abelsche Ladungen quantisiert sind, wie es durch elektrische Ladung, elektroschwache Hyperladung, elektroschwachen Isospin und Farbladungen in genau beschrieben wird U ( 1 ) × S U ( 2 ) × S U ( 3 )   Standardmodell.

  2. Wenn es duale magnetische Monopole gibt, liefert die Quantentheorie eine natürliche Erklärung für die Ladungsquantisierung. Durch das Spielen mit Wilson-Linien erfordert nämlich die Eindeutigkeit der Wellenfunktion, dass Ladungen quantisiert werden (dh nur diskrete Werte annehmen) und dass die Eichgruppe kompakt ist, wie zuerst von Dirac erklärt.

  3. Es ist ein Standardergebnis in der Darstellungstheorie, dass für eine endlichdimensionale Darstellung einer kompakten Lie-Gruppe die Ladungen (dh die Eigenwerte der CSA-Generatoren) Werte in einem diskreten Gewichtsgitter annehmen .

  4. Wenn eine Eichgruppe sowohl eine kompakte als auch eine nicht-kompakte Richtung enthält, dh wenn ihre bilineare Form vorliegt 1 unbestimmte Signatur hat, ist es unmöglich, einen nicht-trivialen Hilbert-Unterraum mit positiver Norm von physikalischen, sich ausbreitenden, EIN μ a Feldzustände messen.

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1 Mit einer bilinearen Form ist hier eine nicht entartete invariante/assoziative bilineare Form der Lie-Algebra gemeint. Für eine halbeinfache Lie-Algebra können wir die Killing-Form verwenden .

@Qmechanics Können Sie bitte erklären oder auf eine Referenz verweisen, warum Ladeoperatoren mit dem Cartan-Generator identifiziert werden?
@Qmechanic In der Gell-mann-Basis von s u ( 3 ) in welchem ​​Sinne sind λ 3 und λ 8 Ladungsgeneratoren der Farbe? Können Sie das erweitern?
Erklärt die zweite Quantisierung nicht bereits die Ladungsquantisierung? Wir beginnen mit der konservierten Noether-Ladung des klassischen Felds, und dann macht die zweite Quantisierung des Felds den Eigenwert dieses Operators diskret. Warum brauchen wir dann magnetische Monopole, um dasselbe zu erklären?
Diskretion von Ladungen bedeutet nicht, dass Ladungen zu einem Gitter gehören.

Ähnlich verhält es sich mit der SU(2)-Spinquantisierung. Generatoren der SU(2) sind quantisiert, während dies bei U(1) nicht der Fall ist. Der Spin ist im 3D-Raum quantisiert, aber im 2D-Raum ist er eine kontinuierliche reelle Zahl, wobei die fraktionale Quantenstatistik zwischen Boson und Fermion liegt.

Interessanter Punkt im Zusammenhang mit Zopfgruppen und projektiven Darstellungen. S p ich n ( 2 ) ist hier die kompakte U ( 1 ) . Soweit ich weiß, ist bisher experimentell gesehen jeder dabei 2 + 1 dimensionale Systeme tragen keinen kontinuierlichen, sondern nur diskreten gebrochenen Spin, die daher noch quantisiert sind.
Wie impliziert nicht-Abelsche Eichsymmetrie die Quantisierung der entsprechenden Ladungen?
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