Warum können symplektische Gruppen Sp(n)≡USp(2n)≡U(2n)∩Sp(2n,C)Sp(n)≡USp(2n)≡U(2n)∩Sp(2n,C)Sp nicht kompaktieren (n)\equiv USp(2n)\equiv U(2n)\cap Sp(2n,\mathbb{C}) Eichgruppen in der Yang-Mills-Theorie?

Die Eichgruppen in der Yang-Mills-Theorie können Dinge sein wie: Ö ( 10 ) oder S U ( 5 ) Aber wenn wir das Muster von reell zu komplex fortsetzen, wären Quaternionmatrizen das nächste Offensichtliche. Eine Gruppe wie U ( 4 , H ) Wo H sind die Quaternionen. Dies ist ein anderer Name für S P ( 4 ) (laut Wikipedia!).

Eine Gruppe wie U ( 4 , H ) Ich dachte immer, es wäre interessant, da es aufgeteilt werden würde U ( 1 , H ) × U ( 3 , H ) Und U ( 1 , H ) = S U ( 2 ) Und U ( 3 , H ) Untergruppe haben würde S U ( 3 ) .

Aber ich habe noch nie eine Yang-Mills-Theorie mit einer kompakten symplektischen Eichgruppe gesehen, also muss es anscheinend einen guten Grund dafür geben.

Kennen Sie den Grund? Gibt es einen theoretischen oder einen experimentellen Grund?

Ist SU(2) nicht äquivalent zu Sp(1)?
John Baez hat viel darüber nachgedacht, wie Quaternionen in die Quantenmechanik passen. Für ein angenehmes Aufschieben: google.com/search?q=baez+quaternion+quantum
Irgendwo müssen die Gruppen ja herkommen . Zum Beispiel müssen sie die Messgerätegruppe des Standardmodells aufnehmen oder sich natürlich aus einem anderen physikalischen Kontext ergeben. Niemand wählt einfach zufällige Gruppen aus und studiert ihre Eichtheorie (hoffe ich). Es könnte einfach sein, dass symplektische Gruppen nicht als Eichgruppen auftreten, außer in den Fällen, in denen sie zu einigen isomorph sind S Ö oder S U .
Ich denke, manche Leute wählen einfach Messgerätgruppen aus, nur um sie zu studieren. Warum nicht?
Die Yang-Mills-Theorie mit symplektischen Gruppen wird manchmal in der mathematischen Physikliteratur berücksichtigt. Siehe zum Beispiel die Abhandlung von Kapustin & Witten über geometrische Langlands oder einige der frühen Abhandlungen von Seiberg über die SUSY-Eichtheorie. Es ist nicht so relevant für die Modellierung der Teilchenphysik, aber es ist ein vollkommen gültiges mathematisches Objekt.

Antworten (2)

Die Struktur des Standardmodells S U ( 3 ) × S U ( 2 ) × U ( 1 ) ist chiral, was Ihnen im Grunde die Notwendigkeit chiraler Fermionen sagt. Wenn sich linkshändige Fermionen unter einer Darstellung umwandeln R der Symmetriegruppe dann wegen Ladungskonjugation verwandte linkshändige und rechtshändige Fermionen als

ψ R ich G H T = C ( ψ C ¯ ) L e F T T
und daher sollten sich rechtshändige Fermionen unter der komplex konjugierten Darstellung umwandeln R ∗ . Wenn R real oder pseudoreal ist, dann transformieren sich linkshändige und rechtshändige Fermionen in dieselbe Darstellung der Gruppe, und die Theorie ist bekanntermaßen eine vektorähnliche Theorie (QCD). Um eine chirale Struktur von Fermionen zu haben, muss man sie haben R ≠ R ∗ was fordert R komplex sein.

Obwohl QCD vektorartig und ist 2 = 2 ∗ , ist das gesamte Standardmodell chiral, wie durch Schreiben ersichtlich ist R für linkshändige Fermionen als

R = ( 3 , 2 ) 1 6 + ( 3 ∗ , 1 ) − 2 3 + ( 3 ∗ , 1 ) 1 3 + ( 1 , 2 ) − 1 2 + ( 1 , 1 ) 1
das komplexe Konjugat zu dem ist nicht dasselbe wie R .

Es ist bekannt, dass U S P ( 2 N ) für N > 2 lässt reale und pseudoreale Darstellungen zu (Weinberg Bd. 2, Kapitel 22) und U S P ( 4 ) ist nicht groß genug, um das Standardmodell aufzunehmen.

Außerdem mit a S P ( N ) Eine ähnliche Eichgruppe erfordert eine gerade Anzahl von Fermionen-Multipletts, sonst zeigt die Eichtheorie eine nicht-perturbative Anomalie 1 mit vierter Homotopiegruppe von S P ( N ) .

1- Ed Witten, Nukl. Phys. B223 (1983), 433-444.

Perfekt. Daraus verstehe ich, dass es nichts Theoretisches gibt, das die Gruppe verbietet S P ( N ) . Aber es würde Spiegelfermionen erfordern, die sich auf die gleiche Weise umwandeln, wie sie es nicht enthalten können S U ( 2 ) L in komplexer Darstellung. Wenn also „Spiegel-Fermionen“ und eine vierte Generation von Fermionen am LHC entdeckt wurden, müssen sie möglicherweise darüber nachdenken S P ( N ) . Das dürfte aber unwahrscheinlich sein!

Nun, die Antwort auf Ihre Frage ist nicht so trivial, denke ich. Hier ist mein Versuch. Ich möchte einen Einblick geben, warum eine symplektische Gruppe aus phänomenologischer Sicht keine gute Wahl für den Modellbau ist.

Sehen Sie sich nun die symplektische Gruppe genau an.

  • S P ( 1 ) ist isomorph zu S U ( 2 )
  • S P ( 4 ) ist isomorph zu S Ö ( 5 ) (was auf eine tiefere Verbindung zwischen S Ö ( 2 N + 1 ) Und S P ( 2 N ) )

Die Standardmodell-Spurweitegruppe ist S U ( 3 ) C × S U ( 2 ) L × U ( 1 ) Y . Wenn wir dann genauer hinsehen S U ( 3 ) hat eine komplexe Repräsentation (fundamentale und antifundamentale Repräsentation vermischen sich nicht), S U ( 2 ) hat eine pseudoreelle Darstellung. Das bedeutet einfach, dass Partikel zum Standardmodell gehören (gehören auch zur realen Welt!). Die Gauge-Gruppe hat komplexe Darstellungen .

Am auffallendsten ist, dass die symplektische Gruppe keine komplexen Darstellungen hat. Zum Beispiel U S P ( 2 N ) mit N ≥ 3 hat nur reale und pseudoreale Darstellungen. Daher ist jede Eichtheorie, die keine komplexe Darstellung aufnehmen kann, keine gute Wahl für die Modellerstellung.

Für eine strengere Perspektive kann man sich an Group theory for unified model building von Slansky wenden .

Warum muss es eine komplexe Darstellung haben? Was würde passieren, wenn Sie eine reale Repräsentation nehmen und sie einfach komplexieren würden? Oder Sp(n) hat eine Quaternion-Darstellung. Wäre das nicht noch besser als eine komplexe Darstellung? Oder nicht?
Fragen Sie, was passiert, wenn man eine komplexe symplektische Gruppe wählt?
Es ist nicht offensichtlich, was Sie mit der Komplexisierung von "realer Repräsentation" meinen.
Diese Antwort überzeugt mich nicht - keine wirklich komplexen Darstellungen zu haben, finde ich nicht schlimm. Dass alle Darstellungen "real" sind, bedeutet nur, dass Sie, wenn Sie eine komplexe Darstellung der Gruppe nehmen, eine reale Struktur finden können, so dass die Darstellung auf einen realen Vektorraum beschränkt ist, es verbietet Darstellungen in komplexen Räumen nicht.
Eine (pseudo-)reelle Repräsentation einer Lie-Gruppe zu haben bedeutet, dass ihre fundamentale und anti-fundamentale Repräsentation durch eine Ähnlichkeitstransformation verbunden sind. habe ich recht?
Ich habe in einer anderen Antwort gelesen, dass echte Eichgruppen Spiegelfermionen haben müssen. Liegt das daran, dass der reale Repräsentant sowohl den Realteil als auch den Imaginärteil eines komplexen Spinors auf die gleiche Weise transformiert? Es ist also wie zwei getrennte Teilchen?
@AMS: S P ( 1 ) ist isomorph zu S U ( 2 ) , nicht S P ( 2 ) . Plus die folgende Aussage: „Zum Beispiel U S P ( 2 N ) mit N ≥ 3 hat nur reale und pseudoreale Darstellungen. " ist falsch. Jede kompakte reelle Lie-Gruppe lässt komplexe Darstellungen zu.
Warum können symplektische Gruppen Sp(n)≡USp(2n)≡U(2n)∩Sp(2n,C)Sp(n)≡USp(2n)≡U(2n)∩Sp(2n,C)Sp nicht kompaktieren (n)\equiv USp(2n)\equiv U(2n)\cap Sp(2n,\mathbb{C}) Eichgruppen in der Yang-Mills-Theorie?
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