Bestimmt eine Spurgruppen-GGG das Haupt-GGG-Bündel?

Ich versuche, die mathematischen Grundlagen von Eichtheorien in der Sprache des Prinzipals zu verstehen G -Bundles und zugehörige Vektor-Bundles. Vor nicht allzu langer Zeit hatte ich angenommen, dass die physikalische Wahl einer Symmetriegruppe G (kompakte Lie-Gruppe) bestimmt unmittelbar und eindeutig eine unendliche Dimensionsgruppe G von Eichtransformationen. Dann dachte ich G lediglich die Übergangsfunktionen eines Prinzipals bereitstellte G -bündeln. Ich weiß, dass in anderen Kontexten ein Bündel eindeutig aus seinen Übergangsfunktionen wiederhergestellt werden kann. Daher dachte ich, dass die körperlich motivierte Wahl von G , bestimmt sofort das Hauptbündel.

Ich verstehe jetzt, dass sich die Eichtransformationen von den Übergangsfunktionen unterscheiden. Es gibt eine schöne Diskussion ( Globale vs. lokale Eichgruppe im mathematischen Sinne - physikalische Beispiele? )

So scheint es mir jetzt, dass die Auswahl der Übergangsfunktionen des Hauptbündels Werte berücksichtigt G sind eigentlich zusätzliche Daten, die zusätzlich bereitgestellt werden müssen G . Im Gegensatz zur eindeutigen Bestimmung durch G und die physikalischen Eichtransformationen.

Ist das richtig? Wenn ja, wie entscheiden Physiker, welcher Schulleiter G -Bundle, das sie brauchen?

Es gibt sicherlich verschiedene Hauptbündel mit demselben Basisverteiler und derselben isomorphen Faser: Ein Beispiel, das ich kenne, ist S 1 → S 3 → S 2 Wo S 1 ↷ S 3 von λ ⋅ z = z λ ± 1 , mit Multiplikation in C 2 . Diese beiden sind keine isomorphen Hauptbündel – eines davon ist das Standard-Hopp-Bündel.
Wenn Sie bereits von der Existenz eines nichttrivialen Prinzipals wissen G -bundle, es gibt noch mindestens ein weiteres, das triviale Bundle! Im Allgemeinen der "Satz" des Auftraggebers G -bündelt über einen Raum X ist in Bijektion mit der Menge der Homotopieklassen von Abbildungen X → B G (Wo B G ist ein spezieller Raum zugeordnet G , genannt "Klassifizierungsraum"). Sie müssen zuerst "Physik machen", um zu sehen, in welchem ​​"Rahmen" Sie sich wirklich befinden. Das bedeutet, die Übergangsfunktionen zu finden, indem Sie sehen, wie die Physik in jedem lokalen Koordinatensystem zueinander in Beziehung steht. (Alternativ raten Sie und prüfen Sie mit Experiment).
@ChrisGerig Danke, das macht sehr viel Sinn. Ich hatte gehofft, dass "Physik machen" nur bedeutete, einmal nach draußen zu gehen, um herauszufinden, was G sein sollte, aber es macht Sinn, dass man in der Physik lokal, experimentell arbeiten muss, um die Übergangsfunktionen zu finden. Aber in einem Pfadintegral, bei dem Sie Modulo-Eichtransformationen über alle Verbindungen integrieren A / G , bezieht sich dies auf alle Verbindungen in einem festen Hauptbündel oder auf alle Verbindungen in allen Hauptbündeln?
Sie können es nicht lokal messen, wie ich unten versucht habe zu erklären. Übergangsfunktionen bestimmen nur topologische Eigenschaften, die naturgemäß nicht lokal beobachtet werden können. Aus dem gleichen Grund spielt es keine Rolle, ob Sie das Pfadintegral als Integration über alle Bündel nehmen oder ein Bündel mit einer bestimmten Menge von Übergangsfunktionen: Wenn der Integrationsbereich die Menge aller Bündel ist, ist dies nur die disjunkte Vereinigung des Integrierens über bestimmte Bündel und Quantentrajektorien über disjunkte Räume können einander nicht beeinflussen.
(Um meinen Punkt weiter zu unterstreichen, dass Übergangsfunktionen nicht lokal beobachtet werden können: Beachten Sie, dass, wenn Ihr zugrunde liegender Raum topologisch trivial (dh zusammenziehbar) ist, alle verschiedenen Auswahlmöglichkeiten von Übergangsfunktionen tatsächlich äquivalent / nicht unterscheidbar sind. Um also Übergangsfunktionen zu "messen", Sie müssen etwas sehr Globales tun, sodass alles, was Sie tun, für die Topologie Ihres zugrunde liegenden Raums sensibel ist.)

Antworten (2)

Vielleicht hilft es, an das Beispiel von GR zu denken: Die Kenntnis der lokalen Symmetrien der Raumzeit legt ihre Metrik (oder Topologie) nicht fest. Es behebt nur, dass es lokal "aussieht" R 1 , 3 . In diesem Fall wissen wir, wie diese zusätzlichen Informationen festgelegt sind: durch Anfangsbedingungen, Randbedingungen und Dynamik. Ebenso ist für die im Standardmodell angetroffenen nicht-Abelschen Eichtheorien/Bündel nur festgelegt, wie es lokal aussieht M × G . Und ebenso ist ihre „Geometrie“ prinzipiell frei und muss durch den Dreiklang von Anfangsbedingungen, Randbedingungen und Dynamik gewonnen werden. Genau aus diesem Grund sind Eichfelder dynamisch, wobei die Geometrie durch die Feldstärke erfasst wird F = D A . Sie können sich vorstellen, wie ich ein Lichtpaket zu Ihnen schicke, während ich eine Welle durch die Erde sende U ( 1 ) Linienbündel.

Richtig, ich verstehe, dass die Eichfelder dynamisch sind, aber diese Eichfelder sind Verbindungen auf einem festen zugrunde liegenden Hauptbündel. Das zugrunde liegende Bündel muss also ausgewählt werden, bevor Sie über Verbindungen darauf sprechen. Es sei denn, die Verbindung bestimmt kanonisch ein Bundle, über etwas, das ich nicht verstehe.
Nun, die Verbindung bestimmt die Geometrie des Bündels, die Übergangsfunktionen bestimmen die Topologie. Die Topologie wird normalerweise durch Anfangsbedingungen festgelegt. In der Tat: Die Physik tritt durch das Wirkungsprinzip ein, das sich nur um lokale Extrema kümmert, die durch topologische Überlegungen nicht beeinflusst werden können.
Falls Sie mehr mathematische Details wünschen: für eine bestimmte Messgerätegruppe G , wählt es kein einzelnes Bündel aus, sondern die topologisch unterschiedlichen Bündel werden durch etwas namens Cech-Kohomologie oder verwandt durch die topologisch unterschiedlichen Abbildungen von der Basis-Mannigfaltigkeit gekennzeichnet M in den sogenannten "Klassifizierungsraum" zugeordnet G . Diese Menge inäquivalenter Abbildungen wird bezeichnet [ M , B G ] . Zum Beispiel, wenn unsere Basis-Mannigfaltigkeit ist S 2 Und G = U ( 1 ) , Dann B G = C P ∞ und öffnen ein Mathe-Lehrbuch, das wir sehen [ S 2 , C P ∞ ] = π 2 ( C P ∞ ) = Z .
Daher gibt es eine ganze Zahl von topologisch verschiedenen U ( 1 ) -Bündel auf der 2 -Kugel. Ein Handlungsprinzip kann keines von diesen gegenüber den anderen bevorzugen, und so sind es gewöhnlich die Anfangsbedingungen, die bestimmen, in welchem ​​„wir uns befinden“. Nachdem wir die Topologie unseres Bündels festgelegt haben, bestimmt die Dynamik/Physik die Geometrie unseres Bündels.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie sind die klassischen Lösungen Raumzeiten ( M , G ) die Lorentz-Mannigfaltigkeiten sind. Ich fordere Sie auf zu beachten, dass die Topologie der zugrunde liegenden Mannigfaltigkeit Teil der klassischen Lösung ist . Das Unbekannte ist also nicht nur der metrische Tensor!

In der Eichtheorie liegen die Dinge ganz ähnlich. Gegeben sei eine kompakte und halbeinfache Lie-Gruppe G Wir können mehrere Prinzipale konstruieren G -bündelt über denselben Basisverteiler M . Eines davon ist das triviale Bündel π 1 : M × G → M , Wo π 1 ist die Projektion auf den ersten Faktor, und wo rechts G -Aktion ist

(1) ( X , G ) ⋅ H = ( X , G H ) .

Aber das ist offensichtlich nicht alles. Wir haben nicht-triviale Bundles, die diese einfache Produktform nicht so einfach annehmen G -Aktion (1). Sie unterscheiden sich topologisch vom trivialen Bündel.

Nun, das Eichfeld ist tatsächlich eine Verbindung nach einem Prinzip G -bundle, und was ist das Besondere G -bundle ist insofern Teil der Spezifikation der Lösung, als die Raumzeittopologie Teil der Spezifikation der klassischen GR-Lösung ist !

Es stellt sich heraus, dass jeder Auftraggeber G -bündel ist per Definition lokal isomorph zum trivialen Bündel. Diese Korrespondenz wird durch die Wahl eines Ortsteils festgelegt σ : U ⊂ M → π − 1 ( U ) und definieren H : U × M → π − 1 ( U ) sein H ( X , G ) = σ ( X ) ⋅ G . Auf einer solchen lokal trivialen offenen Menge ist die Verbindung in einer Lie-Algebra-bewerteten Einsform kodifiziert A : U → T ∗ U ⊗ G . Dies ist das Objekt, an das wir in der Yang-Mills-Theorie gewöhnt sind.

Aber Vorsicht! Wenn das Hauptbündel dann nicht das triviale ist A ist nicht global in der gesamten Raumzeit definiert . In diesem Fall einer nicht-trivialen Topologie können Sie die Verbindung nicht durch eine einzige darstellen A . Vielmehr müssen Sie die zugrunde liegende Basismannigfaltigkeit durch offene Mengen abdecken { U ich } über die das Bündel trivialisiert werden kann. In jedem der U ich dann hast du eine A ich und damit sie eine wohldefinierte Verbindung im Hauptbündel ergeben, müssen sie bestimmten Kompatibilitätsbedingungen in den Überlappungen gehorchen.

Nun vergleiche noch einmal mit GR. Die Metrik G in jedem Koordinatenbereich wird durch die Komponenten angegeben G μ v . Oft deckt ein einzelnes Diagramm nicht die gesamte Mannigfaltigkeit ab, und Sie haben mehrere, in denen Sie die Mengen haben G μ v , die Kompatibilitätsbedingungen in den Überlappungen gehorchen, damit sie zu einem wohldefinierten intrinsischen Objekt führen G .

Zusammenfassend also die Antwort auf "Bestimmt eine Eichgruppe G das Haupt-G-Bündel?" ist das nein, es gibt mehrere topologisch inäquivalente Prinzipale G -Bündel über denselben Basisverteiler und diese Daten sind Teil der Spezifikation der Eichtheorie-Eichfeldkonfiguration.

Bestimmt eine Spurgruppen-GGG das Haupt-GGG-Bündel?
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