Beziehung der Yang-Mills-Feldstärke zum Maxwell-Tensor in der SU(2)SU(2)SU(2)-Eichtheorie

Question

Beziehung der Yang-Mills-Feldstärke zum Maxwell-Tensor in der SU(2)SU(2)SU(2)-Eichtheorie

Physik
Yang-Mühlen
Feldtheorie
Eichtheorie
Symmetriebruch

Othin

Ich studiere topologische Monopole in a $SU(2)$ Yang-Mills-Theorie mit spontaner Symmetriebrechung, durch das Buch "Topological Solitons" von Manton und Sutcliffe. In Abschnitt 8.2 setzen die Autoren den Yang-Mills-Feldstärketensor in Beziehung zum Maxwell-Feldtensor. Ersteres wird in dieser Darstellung wie folgt geschrieben:

F_{μ v} = \partial_{μ} A_{v} - \partial_{v} A_{μ} + [A_{μ}, A_{v}],

$F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu} - \partial_{\nu}A_{\mu} + [A_{\mu},A_{\nu}],$ Wo

A_{μ} = A_{μ}^{a} T^{a}

$A_{\mu}=A_{\mu}^{a}T^a$ , Die

T^{a} \equiv i σ^{a}

$T^{a}\equiv i\sigma^a$ als die Generatoren der

s u (2)

$su(2)$ Algebra. Die kovariante Ableitung wirkt auf das Higgs-Feld

Φ = Φ^{a} T^{a}

$\Phi=\Phi^aT^a$ entsprechend

D_{μ} Φ = \partial_{μ} Φ + [A_{μ}, Φ] .

$D_{\mu}\Phi= \partial_{\mu}\Phi + [A_{\mu},\Phi].$ Stellen Sie sich nun eine Region der Raumzeit vor, in der man schreiben kann

Φ = h \hat{Φ}

$\Phi=h\hat{\Phi}$ , Wo

| Φ |^{2} \equiv - \frac{1}{2} T r Φ^{2} = 1

$|\Phi|^2\equiv-\frac{1}{2}\rm{Tr}\Phi^2=1$ Und

D_{μ} \hat{Φ} = 0

$D_{\mu}\hat{\Phi}=0$ . Der Maxwell-Feldtensor ist durch die Relation definiert

f_{μ ν} = - \frac{1}{2} T r (F_{μ ν} \hat{Φ})

$f_{\mu\nu}=-\frac{1}{2}\rm{Tr}(F_{\mu\nu}\hat{\Phi})$ . Also, um es zu finden, muss ich es lösen

D_{μ} \hat{Φ} = 0

$D_{\mu}\hat{\Phi}=0$ für das Eichpotential und setzen Sie das Ergebnis in die Definition von ein

F_{μ ν}

$F_{\mu\nu}$ . Ich sollte finden:

A_{μ} = \frac{1}{4} [\partial_{μ} \hat{Φ}, Φ] + A_{μ} \hat{Φ},

$A_{\mu}=\frac{1}{4}[\partial_{\mu}\hat{\Phi},\Phi] + a_{\mu}\hat{\Phi},$ Wo

a_{μ}

$a_{\mu}$ ist eine glatte Funktion, und

F_{μ v} = (\frac{1}{8} T R ([\partial_{μ} \hat{Φ}, \partial_{v} \hat{Φ}] \hat{Φ}) + \partial_{μ} A_{v} - \partial_{v} A_{v}) \hat{Φ} .

$F_{\mu\nu}=\left(\frac{1}{8}\rm{Tr}([\partial_{\mu}\hat{\Phi},\partial_{\nu}\hat{\Phi}]\hat{\Phi}) + \partial_{\mu}a_{\nu} - \partial_{\nu}a_{\nu} \right)\hat{\Phi}.$

Ich habe keine Lösung für gefunden $A_\mu$ , noch konnte ich dieses Formular für finden $f_{\mu\nu}$ durch Substitution des richtigen Ergebnisses und algebraische Manipulationen, obwohl es einfach sein sollte. Ich hätte gerne welche mit diesen Manipulationen, wenn möglich. Auch als Nebenfrage würde ich mich freuen, wenn mir jemand erklären könnte, was der Zustand ist $D_{\mu}\hat{\Phi}$ bedeutet , warum sollte es in anderen Regionen als dem Vakuum erfüllt sein?

David Bar Mosche

Entschuldigung, dass ich keine vollständige Antwort gepostet habe, bitte beachten Sie das

\hat{Φ} B \hat{Φ} = T r (\hat{Φ} B) \hat{Φ}

$\hat{\Phi} B \hat{\Phi} = \mathrm{Tr}( \hat{\Phi} B ) \hat{\Phi}$ für jede angrenzende Menge

B = \sum_{a = 1}^{3} B^{a} t_{a}

$B=\sum_{a=1}^3 B^a t_a$ , (wie das Eichpotential). Was Ihre zweite Frage betrifft, lesen Sie bitte die Bemerkung von Manton und Sutcliffe nach Gleichung (8.70), wo sie erklären, dass diese Lösung in der Region außerhalb des Kerns des Monopols, wo das Eichfeld abelianisiert, asymptotisch gültig ist.

Othin

Nun, über den zweiten Teil ... es ist wahr, aber

D_{μ} \hat{Φ} = 0

$D_{\mu}\hat{\Phi}=0$ ist ein schwächerer Zustand. Die Ergebnisse müssen sogar innerhalb des Kerns gültig sein, damit die Interpretation des Magnetfelds als

b_{i} = - \frac{1}{2} ϵ_{i j k} f_{j k}

$b_i=-\frac{1}{2}\epsilon_{ijk}f_{jk}$ gilt immer noch (in dem Sinne, dass es eine gültige Interpretation bleibt). Außerdem könnten wir außerhalb des Kerns einfach die stärkere Bedingung verwenden

D_{μ} Φ = 0

$D_{\mu}\Phi=0$ , die fernab des Ursprungs erfüllt werden muss.

Subhaneil Lahiri

Ich kenne das Buch nicht, aber handelt es sich hier um einen BPS-Monopol? Haben Sie auch die Bogomol'nyi-Gleichung,

\vec{D} Φ = \vec{B}

$\vec{D}\Phi = \vec{B}$ ?

Othin

Nun, die Lösung wird hier nicht als BPS angenommen, es ist der allgemeine Fall.

Antworten (1)

Beziehung der Yang-Mills-Feldstärke zum Maxwell-Tensor in der SU(2)SU(2)SU(2)-Eichtheorie

Entschuldigung, dass ich keine vollständige Antwort gepostet habe, bitte beachten Sie das $\hat{\Phi} B \hat{\Phi} = \mathrm{Tr}( \hat{\Phi} B ) \hat{\Phi}$ für jede angrenzende Menge $B=\sum_{a=1}^3 B^a t_a$ , (wie das Eichpotential). Was Ihre zweite Frage betrifft, lesen Sie bitte die Bemerkung von Manton und Sutcliffe nach Gleichung (8.70), wo sie erklären, dass diese Lösung in der Region außerhalb des Kerns des Monopols, wo das Eichfeld abelianisiert, asymptotisch gültig ist.
Nun, über den zweiten Teil ... es ist wahr, aber $D_{\mu}\hat{\Phi}=0$ ist ein schwächerer Zustand. Die Ergebnisse müssen sogar innerhalb des Kerns gültig sein, damit die Interpretation des Magnetfelds als $b_i=-\frac{1}{2}\epsilon_{ijk}f_{jk}$ gilt immer noch (in dem Sinne, dass es eine gültige Interpretation bleibt). Außerdem könnten wir außerhalb des Kerns einfach die stärkere Bedingung verwenden $D_{\mu}\Phi=0$ , die fernab des Ursprungs erfüllt werden muss.
Ich kenne das Buch nicht, aber handelt es sich hier um einen BPS-Monopol? Haben Sie auch die Bogomol'nyi-Gleichung, $\vec{D}\Phi = \vec{B}$ ?
Nun, die Lösung wird hier nicht als BPS angenommen, es ist der allgemeine Fall.

Subhaneil Lahiri · Answer 1

Zuerst brauchen wir einige Identitäten, wobei wir die Konventionen für verwenden $su(2)$ aus der frage:

\begin{aligned} [[A, B], C] & = 2 A T R (B C) - 2 B T R (A C), \\ [[A, B], [C, D]] & = 2 A T R (C [D, B]) - 2 B T R ([A, C] D) . \end{aligned}

$\begin{align} [[A,B],C] &= 2A\ \mathrm{Tr}(BC) - 2B\ \mathrm{Tr}(AC), \\ [[A,B],[C,D]] &= 2A\ \mathrm{Tr}(C[D,B]) - 2B\ \mathrm{Tr}([A,C]D). \end{align}$

Wenn wir eine Ableitung von nehmen $\mathrm{Tr}(\hat{\Phi}^2) = -2$ , wir glauben, dass $\mathrm{Tr}(\hat{\Phi}\ \partial_\mu\hat{\Phi}) = 0$ . Unter Verwendung der ersten Identität finden wir:

\begin{aligned} [[\partial_{μ} \hat{Φ}, \partial_{v} \hat{Φ}], \hat{Φ}] = 0 ⟹ [\partial_{μ} \hat{Φ}, \partial_{v} \hat{Φ}] & \propto \hat{Φ} \\ ⟹ [\partial_{μ} \hat{Φ}, \partial_{v} \hat{Φ}] & = - \frac{1}{2} T R ([\partial_{μ} \hat{Φ}, \partial_{v} \hat{Φ}] \hat{Φ}) \hat{Φ}, \end{aligned}

$\begin{align} [[\partial_\mu\hat{\Phi}, \partial_\nu\hat{\Phi}], \hat{\Phi}] = 0 \implies [\partial_\mu\hat{\Phi}, \partial_\nu\hat{\Phi}] &\propto \hat{\Phi} \\ \implies [\partial_\mu\hat{\Phi}, \partial_\nu\hat{\Phi}] &= - \frac{1}{2} \mathrm{Tr}([\partial_\mu\hat{\Phi}, \partial_\nu\hat{\Phi}] \hat{\Phi}) \ \hat{\Phi}, \end{align}$

wobei die Proportionalitätskonstante durch Rückverfolgung bestimmt wird $\hat{\Phi}$ .

Nehmen Sie nun den Kommutator aus $D_\mu \hat{\Phi} = 0$ mit $\hat{\Phi}$ :

\begin{aligned} [\partial_{μ} \hat{Φ}, \hat{Φ}] & = - [[A_{μ}, \hat{Φ}], \hat{Φ}] \\ = - 2 A_{μ} T R ({\hat{Φ}}^{2}) + 2 \hat{Φ} T R (A_{μ} \hat{Φ}) \\ = 4 A_{μ} + 2 \hat{Φ} T R (A_{μ} \hat{Φ}) . \end{aligned}

$\begin{align} [\partial_\mu \hat{\Phi}, \hat{\Phi}] &= - [[A_\mu, \hat{\Phi}], \hat{\Phi}] \\ &= -2 A_\mu\ \mathrm{Tr}(\hat{\Phi}^2) + 2\hat{\Phi}\ \mathrm{Tr}(A_\mu \hat{\Phi}) \\ &= 4 A_\mu + 2 \hat{\Phi}\ \mathrm{Tr}(A_\mu \hat{\Phi}). \end{align}$

Wenn wir definieren $a_\mu = -\frac{1}{2} \mathrm{Tr}(A_\mu \hat{\Phi})$ wir erhalten den Ausdruck für $A_\mu$ in der Frage. Die Ableitung von $F_{\mu\nu}$ ist sehr ähnlich, also werde ich es hier nicht schreiben, es sei denn, jemand fragt danach.

Wie für $D_\mu \hat{\Phi} = 0$ , Notiere dass der $U(1)$ ungebrochen durch das Higgs ist $U = \exp(i\alpha \hat{\Phi})$ . Um dies ungebrochen zu lassen, $F_{\mu\nu}$ muss auch proportional sein $\hat{\Phi}$ . Die Bogomol'nyi-Gleichung, $\vec{D}\Phi=\vec{B}$ , wird

\vec{\nabla} H \hat{Φ} + H \vec{D} \hat{Φ} = \vec{B} \hat{Φ} .

$\vec{\nabla}h\ \hat{\Phi} + h \ \vec{D}\hat{\Phi} = \vec{b} \ \hat{\Phi}.$

Wenn wir dies gegen verfolgen $\hat{\Phi}$ , wir glauben, dass $\vec{\nabla}h = \vec{b}$ . Wiedereinsetzen ergibt $\vec{D}\hat{\Phi} = 0$ .

Bearbeiten: Im Nicht-BPS-Fall können wir die gleichen Tricks auf die Bewegungsgleichung anwenden für $F_{\mu\nu}$ finden $h^2 [D_\mu \hat{\Phi}, \hat{\Phi}] \propto f_\mu{}^\nu D_\nu \hat{\Phi}$ . Nehmen wir den Kommutator mit $\hat{\Phi}$ und gegen verfolgen $D^\mu \hat{\Phi}$ wir finden $\lvert D\hat{\Phi} \rvert^2 = 0$ . Bei einer statischen Lösung verschwindet die Zeitkomponente, also auch die Raumkomponente.

Danke, das hat sehr geholfen. Ich glaube, ich bin jetzt fast da, aber es bleibt eine proportionale Laufzeit $[\hat{\Phi}a_{\mu},[\partial_{\nu}\hat{\Phi},\hat{\Phi}]]$ und eine mit vertauschten μ,ν bei der Berechnung von Fμν. Nicht sicher, warum sie verschwinden sollten
Wenn du ziehst $a_{\mu}$ aus dem Kommutator und verwenden Sie die erste Identität, erhalten Sie etwas proportional zu $(\partial_{[\mu} \hat{\Phi}) a_{\nu]}$ . Diese storniert mit einer Frist von $\partial_{[\mu}(a_{\nu]} \hat{\Phi})$ .
Danke, ich hatte vergessen den Einheitsvektor in der zu differenzieren $a_{\nu}\hat{\Phi}$ Bedingungen, daher konnte ich die Stornierung nicht erhalten. Es funktioniert jetzt.

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