Form der SU(N)SU(N)SU(N)-Eichtransformationen in der SU(N)SU(N)SU(N)-Yang-Mills-Theorie

Question

Form der SU(N)SU(N)SU(N)-Eichtransformationen in der SU(N)SU(N)SU(N)-Yang-Mills-Theorie

Physik
Instantonen
Yang-Mühlen
Feldtheorie
Eichtheorie

SRS

Für $SU(N)$ Yang-Mills-Theorie entsprechen Instantons endlichen Aktionslösungen $A_\mu(x)$ der euklidischen Bewegungsgleichung. Das verlangt die Forderung nach endlichem Handeln $A_\mu(x)$ ist ein reines Messgerät an der Grenze von $\mathbb{R}^4$ gegeben von

A_{μ} (X) = - \frac{ich}{G} (\partial_{μ} U) U^{- 1}

$A_\mu(x)=-\frac{i}{g}(\partial_\mu U)U^{-1}$ Wo

U \in S U (N)

$U\in SU(N)$ .

Für $SU(2)$ , also haben wir,

U (X) = \exp [ich θ_{A} (X) T^{A}]

$U(x)=\exp[i\theta_a(x)T^a]$ Wo

T^{a} = σ^{a} / 2

$T^a=\sigma^a/2$ sind die Generatoren von

S U (2)

$SU(2)$ in der fundamentalen Darstellung. Jedoch,

U

$U$ wird angenommen

U = \frac{X_{4} + ich σ \cdot X}{τ}

$U=\frac{x_4+i\boldsymbol{\sigma}\cdot\textbf{x}}{\tau}$ Wo

τ^{2} = x_{4}^{2} + x \cdot x

$\tau^2=x_4^2+\textbf{x}\cdot\textbf{x}$ beim Studieren von Instantons der Klasse

n = 1

$n=1$ .

Ist letzterer Ausdruck von $U$ ein Spezialfall des früheren Ausdrucks? Wie leitet sich in diesem Fall der letztere Ausdruck vom ersteren ab?

Antworten (2)

Form der SU(N)SU(N)SU(N)-Eichtransformationen in der SU(N)SU(N)SU(N)-Yang-Mills-Theorie

ACuriousMind · Answer 1

Das hat nichts mit Instantonen oder Quantenfeldtheorie zu tun, es ist nur eine elementare Tatsache $2\times 2$ Matrizen:

Die Pauli-Matrizen $\sigma^i$ zusammen mit der Identität $\mathbf{1}_2$ bilden eine Basis des Vektorraums von 2-mal-2-Matrizen. Deshalb, $U(x)$ , als eine 2-mal-2-Matrixwertfunktion, kann geschrieben werden als

U (X) = ζ (X) 1_{2} + ω_{ich} (X) σ^{ich}

$U(x) = \zeta(x)\mathbf{1}_2 + \omega_i(x)\sigma^i$ und Ihr Ausdruck für

U (x)

$U(x)$ folgt aus der Auswahl

ζ (x) = x_{4} / r, ω_{i} (x) = x_{i} / r

$\zeta(x) = x_4/r,\omega_i(x) = x_i/r$ für

r = \sqrt{x^{2}}

$r = \sqrt{x^2}$ .

Wenn Sie sehen möchten, wie Sie die auswählen müssen $\theta_a(x)$ im Exponential für $U(x)$ Sie schrieben, verwenden Sie einfach die Standardbeziehung

\exp (ich a \vec{N} \cdot \vec{σ}) = 1_{2} \cos (a) + ich (\vec{N} \cdot \vec{σ}) Sünde (a)

$\exp(\mathrm{i}\alpha\vec n\cdot\vec\sigma) = \mathbf{1}_2\cos(\alpha) + \mathrm{i}(\vec n\cdot\vec \sigma)\sin(\alpha)$ und vergleiche die Koeffizienten, um die zu erhalten

θ_{a} = α n_{a}

$\theta_a = \alpha n_a$ .

Andrej Feldmann · Answer 2

Natürlich ist es das. Die einzige Bedingung, die man stellt $U$ ist, dass es einheitlich ist. Sie können leicht überprüfen, ob die letztere Matrix ist.

U^{†} = \frac{X_{4} - ich \vec{σ} \cdot \vec{X}}{\sqrt{X_{4}^{2} + {\vec{X}}^{2}}};

$\begin{equation}U^{\dagger}=\frac{x_4-\mathrm{i} \vec{\sigma} \cdot \vec{x}}{\sqrt{x_4^2+\vec{x}^2}}; \end{equation}$

U^{†} \cdot U = \frac{X_{4} - ich \vec{σ} \cdot \vec{X}}{\sqrt{X_{4}^{2} + {\vec{X}}^{2}}} \cdot \frac{X_{4} + ich \vec{σ} \cdot \vec{X}}{\sqrt{X_{4}^{2} + {\vec{X}}^{2}}} = \frac{X_{4}^{2} + {\vec{X}}^{2}}{X_{4}^{2} + {\vec{X}}^{2}} = 1.

$\begin{equation}U^{\dagger} \cdot U=\frac{x_4-\mathrm{i} \vec{\sigma} \cdot \vec{x}}{\sqrt{x_4^2+\vec{x}^2}} \cdot \frac{x_4+\mathrm{i} \vec{\sigma} \cdot \vec{x}}{\sqrt{x_4^2+\vec{x}^2}}=\frac{x_4^2+\vec{x}^2}{x_4^2+\vec{x}^2}=1. \end{equation}$

Die Tatsache, dass U unitär ist, ist ein trivialer Teil. Es hätte meine Frage beantwortet, wenn Sie eine Auswahl von angegeben hätten $\theta_a(x)$ , was es einem ermöglicht, den ersteren Ausdruck auf den letzteren zu reduzieren. Oder ausgedrückt als Exponential der Generatoren $\sigma^a/2$ .
Weil $U$ einheitlich ist, kann sie in der entsprechenden Basis diagonalisiert werden, und man kann auswerten $\mathrm{log} U$ . Beliebig $2 \times 2$ Matrix kann in Bezug auf erweitert werden $\vec{\sigma}$ 's, was bedeutet, dass man finden kann $\theta^a$ bezüglich $U$ .

Form der SU(N)SU(N)SU(N)-Eichtransformationen in der SU(N)SU(N)SU(N)-Yang-Mills-Theorie

SRS

Antworten (2)

ACuriousMind

Andrej Feldmann

SRS

Andrej Feldmann

Was rechtfertigt die Verdichtung von Raum und Raumzeit im Zusammenhang mit Instantonen?

Gibt es eine gute Idee, woher nicht-abelsche Eichsymmetrien kommen?

Beziehung der Yang-Mills-Feldstärke zum Maxwell-Tensor in der SU(2)SU(2)SU(2)-Eichtheorie

Yang-Mills-Instanton

Existiert 4D N=3N=3{\cal N} = 3 Supersymmetrie?

Warum nicht alle Umbauten auf großen Spurweiten als echt ansehen?

Bestimmt eine Spurgruppen-GGG das Haupt-GGG-Bündel?

Wie kann ich Instantonen als Garben verstehen?

Beweis, dass wir immer eine Eichtransformation finden können, so dass A0=0A0=0A_0=0?

Interpretation des Feldstärketensors in der Yang-Mills-Theorie