Beweis, dass wir immer eine Eichtransformation finden können, so dass A0=0A0=0A_0=0?

Ich versuche, Colemans Beweis aus seinen Vorlesungen "Aspects of Symmetry" auf Seite 200-201 zu folgen. Er beweist, dass es immer möglich ist, im zeitlichen Maßstab für eine allgemeine Yang-Mills-Higgs-Theorie zu arbeiten. Ich werde seine Argumentation schnell wiederholen. Betrachten Sie ein Higgs-Feld,$\phi$, für die die direktionale kovariante Ableitung auf einem Pfad verschwand$P$:

$$\begin{equation} \frac{dx^\mu}{ds} D_\mu \phi=0 \Rightarrow \frac{d \phi}{ds}=-\frac{dx^\mu}{ds} A_\mu \phi \end{equation}$$

Wo$s$ist der Parameter des Pfads, sodass der Pfad an dem Punkt beginnt$x_0$und endet bei$x_1$für$s \in [0,s_f]$. Die Lösung dieser Gleichung ist gegeben durch:

$$\begin{equation} g(P) = \mathcal{P} \exp \left( -\int\limits_{P(0)}^{P(s_f)} A_\mu(P(s)) \; \mathrm{d} x^\mu \right) \end{equation}$$

Wo$\mathcal{P}$bezeichnet das Pfadordnungssymbol. Weiterhin können wir zeigen, dass Transformationseigenschaften gegeben sind durch:

$$\begin{equation} g(P)' = g(x_1) g(P) g(x_0)^{-1} \end{equation}$$

Nun der Beweis: „Für jeden Raum-Zeit-Punkt$x$, definieren$P_x$der geradlinige Pfad von sein$(\mathbf{x},0)$Zu$x$. Die gewünschte Eichtransformation wird definiert durch:

$$\begin{equation} g(x)=g(P_x)^{-1} \end{equation}$$

denn unter dieser Transformation:

$$\begin{equation} g(P_x)' = g(P_x)^{-1} g(P_x) g(P_0)=1 \end{equation}$$

aus denen$A_0=0$folgt durch Differentiation.“

Ich verstehe die Mathematik vor dem eigentlichen Beweis, aber ich finde seinen Beweis ziemlich verwirrend (vielleicht weil Englisch nicht meine Muttersprache ist). Soweit ich weiß, definiert er einen Weg$P_x$an jedem Punkt$x$in der Raumzeit. Außerdem,$P_x$ist eine gerade Linie, die sich nur in der Zeit entwickelt, dh$P_x$bleibt am gleichen Punkt$\mathbf{x}$im Raum, sondern entwickelt sich mit$t$. Ist das korrekt? Wenn ja, dann$g(P_x)$wird gegeben von:

$$\begin{equation} g(P_x) = \mathcal{P} \exp \left( -\int\limits_{P(0)}^{P(s_f)} A_0(P_x(s)) \; \mathrm{d} x^0 \right) \end{equation}$$

und tatsächlich bedeutet dies:

$$\begin{equation} \partial_0 g(P_x)' = A_0' = 0 \end{equation}$$

Wenn meine Interpretation bis jetzt richtig ist, dann habe ich folgende (vielleicht dumme) Frage:

Woher wissen wir das$\phi$an jedem Raum-Zeit-Punkt$x$immer der ersten Gleichung gehorchen, die ich geschrieben habe? Mit anderen Worten, der ganze Beweis basiert auf der Idee der$\phi$diese Gleichung für den Pfad erfüllt$P_x$, aber woher wissen wir, dass das wahr ist?