Was genau sind die Abschnitte in Eichtheorien?

Bei dem Versuch, genau zu verstehen, wie die Faserbündeltheorie auf physikalische Modelle abgebildet wird, bin ich auf dieses Zitat gestoßen:

Wir können uns die Elemente des Hauptbündels als verallgemeinerte Rahmen für das ursprüngliche Faserbündel vorstellen. Das heißt, sie korrespondieren mit unterschiedlichen Möglichkeiten, wie wir die Eigendynamik, die abstrakt durch einen Abschnitt des Faserbündels beschrieben wird, in etwas Konkretes umwandeln können, das wir beobachten.

Diese verallgemeinerten Rahmen werden oft als „Messgeräte“ bezeichnet. Die Strukturgruppe des Hauptbündels wird als "Eichgruppe" bezeichnet, und der Automorphismus des Hauptbündels, der die Basis festlegt, wird als "Eichtransformation" bezeichnet.

Im Fall eines Vektorbündels bedeutet dies, dass wir durch die Wahl eines Messgeräts oder eines orthonormalen Rahmens für die Faser eine Reihe von Zahlen erhalten: die Koordinaten des Schnitts in Bezug auf den Rahmen.

Sagen Sie mir also bitte, ob ich das richtig verstehe: Wir haben hier zwei logisch unterschiedliche Faserbündel: das Hauptbündel und das zugehörige Vektorbündel. Das zugehörige Bündel ist das „Materiefeld“, dessen Abschnitte die beobachtbaren Größen darstellen, zB Phase, und das Hauptbündel ist das Bündel der „verallgemeinerten Rahmen“, deren Abschnitte die Basen darstellen, mit denen wir die Abschnitte des zugehörigen Bündels numerisch beschreiben?

Ist das richtig?

Tut mir leid, wenn das vage ist. Ich versuche, einen intuitiven „Handgriff“ dafür zu bekommen, wie die technische Mathematik von Faserbündeln mit dem übereinstimmt, was ich aus der Physik weiß.

Könnten Sie eine Quelle für dieses Zitat angeben?

Antworten (1)

  1. Das Prinzip Faserbündel kann man sich als Erweiterung der Raumzeit vorstellen: Gegeben sei eine Eichgruppe G und ein Schulleiter G bündeln π : P → M über die Raumzeit M , bekommen wir vor Ort
    π − 1 ( U ) ≅ U × G ,   U ⊂ M
    da ein PFB nur ein Faserbündel mit Faser ist G . Im Fall von U ( 1 ) , kann man sich den PFB als eine Möglichkeit vorstellen, die Phase zu verfolgen, die ein bestimmtes Teilchen an einem bestimmten Punkt in der Raumzeit hat, allgemeiner kann man sich das als eine Möglichkeit vorstellen, die intrinsischen Eigenschaften eines Teilchens explizit zu codieren (es gibt andere Beispiele, aber lassen wir sie für den Moment weg).
  2. Eine Repräsentation ρ : G → v auf einem Vektorraum v sollte als „Transformationsregel“ betrachtet werden, dh wie sich ein Feld unter einer Eichtransformation transformiert. Beispiele hierfür sind Drehungen im Isopinraum (auch wenn sie keine „echte“ Eichtheorie sind) sowie das Bekannte U ( 1 ) Spurtransformation, siehe auch diese Antwort von mir .
  3. Eine Vertretung gegeben ρ wie oben kann man das zugehörige Vektorbündel bilden
    E = P × ρ v ,
    die im Prinzip Bündelformalismus anstelle des Vektorraums verwendet wird v . Nehmen Sie genauer gesagt ein beliebiges (klassisches) Feld, zum Beispiel das Dirac-Feld, das eine glatte Funktion ist
    ψ : R 1 , 3 → C 4
    Erfüllung der Dirac-Gleichung . In unserem neuen Formalismus wären die Felder glatte Abschnitte
    Ψ : M → E .
    Materiefelder würde man sich dann als diese Abschnitte vorstellen Ψ und nicht als Bündel.

  4. Die Wahl eines Messgeräts würde üblicherweise als Auswahl eines lokalen Abschnitts für betrachtet P . Die Lokalität ist hervorzuheben, da es im Allgemeinen nicht möglich ist, globale Abschnitte auszuwählen. Mittels eines Lokalteils kann auf „alles“ zurückgegriffen werden U ⊂ M was dann eichinvariante (und im Allgemeinen ''gekrümmte'') Differentialgleichungen liefert, z. B. Dirac-Gleichung in gekrümmter Raumzeit . . Konkret würde dies wie folgt geschehen: Gegeben sei ein ''Materiefeld''

    Ψ : M → E
    und einen (lokalen) Abschnitt
    S : U → P
    man kann (lokal) schreiben
    Ψ ( X ) = [ S ( X ) , ψ ' ( X ) ]
    (nach der Definition von E ). Nun der Abschnitt S definiert eine Familie von Isomorphismen ( [ S ( X ) ] ) X ∈ U die, für eine feste X 0 ∈ U , wird durch gegeben
    [ S ( X 0 ) ] : v → E X 0 , v ↦ [ S ( X 0 ) , v ]
    wo ich die Faser von bezeichnet E über X 0 von E X 0 . Mit dieser Familie von Isomorphismen erhalten wir eine Funktion
    ψ ' : U → v ,   X ↦ ψ ' ( X )
    die dann für Berechnungen verwendet werden können.

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