Art der "Ladungs"-Kopplungskonstante in QED

Ich versuche, die klassische Eichtheorie aus einer differentiellen geometrischen Sicht zu verstehen, aber es gibt etwas, das ich nicht besonders verstehe.

Ich denke, die am besten geeignete Antwort darauf, warum wir das normalerweise ansehen$\text{U}(1)$Die Verbindung von QED (und auch jeder anderen Spurweite) als Verbindung auf einem Hauptfaserbündel im Gegensatz zu einem Vektorbündel liegt daran, dass jedes Feld, das unter einem invariant ist$\text{U}(1)$Transformation wird mit dem gleichen elektromagnetischen Feld interagieren$A_\mu$. Komplexe Skalarfelder, Dirac-Felder, Quark-Felder usw. interagieren mit demselben Photonenfeld$A_\mu$. Wenn wir überlegten$A_\mu$Um eine Verbindungsform einer Verbindung auf dem Vektorbündel zu sein, dessen Abschnitte komplexe Skalarfelder sind, haben wir keine Garantie dafür, dass die$A_\mu$eines Dirac-Feldes würde dasselbe Feld darstellen.

Wenn wir die Verbindung so betrachten, dass sie auf einem Hauptbündel liegt, induziert sie Verbindungen auf allen zugehörigen Vektorbündeln, wenn wir also die Vektorbündel von geladenen Skalarfeldern, Dirac-Feldern, Quarkfeldern usw. als zugehörige Vektorbündel von a betrachten einzel$\text{U}(1)$Hauptbündel, dann ist dieses Problem weg.

Das Problem:

Betrachten Sie das Elektronenfeld$\psi_e$, und die Verbindung wirkt auf diese Felder als

$$D_\mu\psi_e=\partial_\mu\psi_e+\mathcal{A}_\mu\psi_e.$$

Das Feld$\mathcal{A}_\mu$ist ein$\mathfrak{u}(1)$-bewertetes Feld, und wir können es identifizieren$\mathfrak{u}(1)$mit$i\mathbb{R}$, also können wir die imaginäre Einheit abspalten, und auch eine Kopplungskonstante, warum zum Teufel nicht und wir bekommen$\mathcal{A}_\mu=iqA_\mu$, Wo$A_\mu$ist jetzt ein echter Wertbereich und wir identifizieren uns$q=-e$als Ladung des Elektrons.

Aber wenn wir überlegen$\psi_u$das Feld für das Up-Quark haben wir

$$D_\mu\psi_u=\partial_\mu\psi_u+\tilde{\mathcal{A}}_\mu\psi_u,$$ und wir teilen uns auf $\tilde{\mathcal{A}}_\mu=i\tilde{q}A_\mu$wo jetzt $\tilde{q}=\frac{2}{3}e$ist eine andere Gebühr.

Normalerweise bezeichnen wir das elektromagnetische Feld als das „realisierte“ Feld$A_\mu$und wir können annehmen, dass diese für beide gleich sind$\psi_e$Und$\psi_u$, sondern die eigentliche Verbindung bildet$\mathcal{A}$Und$\tilde{\mathcal{A}}$sind anders.

Die Frage:

Was unterscheidet diese beiden Bereiche? Ich meine, wenn wir die Allgemeine Relativitätstheorie/Riemannsche Geometrie betrachten, dasselbe$\text{O}(1,3)$Verbindung auf dem orthonormalen Rahmenbündel induziert die Verbindungsformen$\omega_{\mu\ \ b}^{\ a}$auf dem Tangentenbündel als$\nabla_\mu X^a=\partial_\mu X^a+\omega_{\mu\ \ b}^{\ a}X^b$und die Verbindungsformen$-\omega_{\mu\ \ b}^{\ a}$auf dem Kotangensbündel als$\nabla_\mu X_b=\partial_\mu X_b-\omega_{\mu\ \ b}^{\ a}X_a$, aber dieser Unterschied ergibt sich natürlich aus der Anforderung, dass die kovariante Ableitung mit Kontraktionen pendelt.

Eine solche Überlegung besteht für den Fall der nicht$\psi_e$Und$\psi_u$Felder.

Natürlich, denke ich, ist die allmächtige Antwort, dass das Elektron eine Ladung von hat$-1$und das up-Quark hat eine Ladung von$+2/3$und so muss es gemacht werden, aber ich bin gespannt, ob es eine tiefer gehende mathematische Antwort gibt.

Ich weiß, dass die lokalen Verbindungsformen davon abhängen, wie die Strukturgruppe auf der Modellfaser der zugehörigen Vektorbündel dargestellt wird, aber wir können den "Étale-Raum" von Up-Quark-Feldern als die dreifache direkte Summe eines "Dirac-Bündels" betrachten. mit sich selbst, und als solche gibt es, wenn eine Darstellung auf der Modellfaser für das Dirac-Bündel gegeben ist, eine sehr natürliche direkte Summendarstellung auf dem "Up-Quark-Bündel".

Bedeutet dies, dass die Gruppe$\text{U}(1)$wird auf dem "Up-Quark-Bündel" anders dargestellt als auf dem "Dirac-Bündel"? Wenn ja, wie unterscheiden sich die beiden Darstellungen?