Warum gilt ϕ→e−iα(x)ϕϕ→e−iα(x)ϕ\phi \to e^{-i\alpha(x)}\phi unter einer Eichtransformation Aμ→Aμ+∂μα(x)Aμ →Aμ+∂μα(x)A_{\mu} \to A_{\mu} + \partial_{\mu}\alpha(x)?

Wollen wir damit nur sagen, dass wir eine Theorie aufstellen können, die dies zulässt, also erklären wir das einfach für wahr und sehen, was passiert?

Ja, das ist grundsätzlich so. Aber die Annahme ist nicht so willkürlich, wie es zunächst erscheinen mag. Es ist nicht so, dass die Leute herumgingen und verschiedene Transformationen ausprobierten$\phi \to \alpha(x) \phi$,$\psi \to \phi \sin \alpha(x)$, etc. bis sie zufällig über die Verwandlung stolpern$\phi \to e^{-i \alpha(x)} \phi$das entsprach der richtigen Phänomenologie.

Gauge-Transformationen sind komische Dinge, weil sie im Gegensatz zu (den meisten) globalen Transformationen keine tatsächlichen physikalischen Prozesse sind. Sie können an Ihrem Versuchsapparat keinen Knopf drücken und das zu untersuchende System einer Eichtransformation unterziehen, deren Auswirkungen Sie dann empirisch untersuchen können. Die Frage, wie sich eine physikalische Größe unter Eichtransformationen verändert, ist also nicht wirklich eine empirische Frage.

Das einigende Prinzip, das die Menschen dazu motiviert, die besonderen gleichzeitigen Transformationen zu studieren$A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu \alpha(x)$Und$\phi \to e^{-i \alpha(x)}$ist, dass dieses Transformationspaar zufällig die skalare QED-Lagrange-Dichte verlässt

$$\mathcal{L} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} -\frac{1}{2} (\partial_\mu - i e A_\mu)\phi(x)\ (\partial^\mu - i e A^\mu)\phi(x)$$

invariant für jede Funktionswahl$\alpha(x)$. [Diese besondere Form des Lagrange-Operators wurde auch nicht nur durch Versuch und Irrtum entdeckt, sondern durch "Eichen" einer Theorie mit globaler Symmetrie, aber ohne Eichfelder über "minimale Kopplung" - einfach durch Ersetzen aller partiellen Ableitungen der geladenen Materiefelder in die Lagrange-Funktion mit "kovarianten Ableitungen". Das ist eine andere Geschichte.]

Auf dem Papier ist dies nur eine interessante mathematische Eigenart dieser speziellen Lagrange-Funktion. Aber empirisch haben die Lagrange-Operatoren für alle Felder im Standardmodell diese speziellen Formen, wo sie unter diesen Transformationen, die von einer willkürlichen Funktion der Raumzeit abhängen, invariant bleiben. Darüber hinaus sind diese "lokalen Symmetrien" notwendig, um (a) viele Beziehungen zwischen Begriffen in diesen Lagrangianern zu erklären (einschließlich warum bestimmte renormierbare und ansonsten unbedenkliche Begriffe vollständig fehlen) und (b) (semi-heuristische) Erklärungen dafür zu geben wie diese klassischen Theorien zu quantifizieren.

Wenn wir also fragen "wie transformiert sich ein bestimmtes Feld unter Eichtransformationen?", meinen wir wirklich "wie muss es sich transformieren, damit die Lagrange-Dichte unter dieser formalen Transformation invariant bleibt?" Wenn Sie nur die Transformation betrachtet haben$A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu \alpha(x)$ohne Veränderung$\phi$überhaupt, dann wäre die Lagrangedichte nicht invariant, weil die Produktregel von den partiellen Ableitungen an gilt$\phi$würde zusätzliche Begriffe hervorbringen. Das wäre also überhaupt keine Eichtransformation, und es wäre bedeutungslos, das zu sagen$A_\mu$so "verwandelt" - eine solche Aussage hätte weder physikalischen noch mathematischen Inhalt.

Mit Lagrange könnte man sich eine andere Theorie vorstellen

$$\mathcal{L} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} -\frac{1}{2} \partial_\mu \phi(x) \partial^\mu \phi(x).$$

Eine solche Theorie wäre in der Tat unter der von Ihnen vorgeschlagenen Transformation invariant und wäre technisch gesehen eine Eichtheorie (anders als QED). Aber in dieser Theorie die$\phi$Und$A_\mu$Felder wären völlig unabhängig und würden überhaupt nicht interagieren. Denn Ihre Versuchsapparatur besteht vermutlich aus Materiefeldern$\phi$, wäre es völlig unfähig, das Pegelfeld zu erkennen$A_\mu$in irgendeiner Weise, und Sie könnten seine Existenz völlig ignorieren.

„Oder sagen wir nur, dass wir eine Theorie aufstellen können, die dies bestätigt, also erklären wir das einfach für wahr und sehen, was passiert?“

Genau das passiert. Die Essenz der skalaren QED ist, dass sie eine Theorie eines Photons ist$A_\mu$und ein Skalar$\phi$die beide nicht trivial unter demselben Lokal transformieren$U(1)$Symmetrie - was bedeutet, dass die Gruppenaktion durch eine Funktion angegeben wird$\alpha(x)$. Die Lehrbücher zeigen, dass dies die Theorie im Wesentlichen eindeutig spezifiziert, zumindest die Begriffe mit Dimension$\leq 4$(Es ist einfach, Wechselwirkungen aufzuschreiben, die unter RG-Flüssen irrelevant sind).

Ihre zweite Frage ist interessanter: Nehmen Sie das an$\phi$trivial transformiert ($\phi$hat Ladung 0), könnten Sie noch etwas Interessantes aufschreiben? Die Antwort ist ja. Unsere Inspiration ist folgende: if$J_\mu$ist dann ein Erhaltungsstrom

$$\int\!d^4x\, A^\mu J_\mu$$ ist eichinvariant. Dies ist leicht zu überprüfen, da unter der $A_\mu$Variante lautet es $$\int\!d^4x\, (\partial_\mu \alpha(x))J_\mu = -\int\!d^4x\, \alpha(x)\partial^\mu J_\mu = 0.$$ Gegeben sei ein komplexes Boson $\phi$Mit nur einem Massenterm können Sie den Vektoroperator konstruieren $$J_\mu = i (\phi \partial_\mu \bar{\phi} - \bar\phi \partial_\mu {\phi})$$ was Sie beweisen können, ist hermitesch und konserviert. Das ist natürlich die $U(1)$Nicht aktuell, aber das interessiert uns im Moment nicht. So konnte man die Aktion studieren $$L = - (F_{\mu \nu})^2 + |\partial_\mu \phi|^2 + m^2 |\phi|^2 + g A^\mu J_\mu$$ unter denen wir gerade bewiesen haben, dass sie invariant sind $$A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu \alpha(x)\,, \quad \phi \to \phi\,, \quad \bar\phi \to \bar\phi\,.$$

Diese Aktion ist der skalaren QED bis auf einen Term sehr ähnlich$A_\mu^2 |\phi|^2$. Der Grund ist, dass$J_\mu$ist nicht mehr wohldefiniert wenn$\phi$verwandelt sich in$\exp(-i\alpha(x)) \phi$, es gibt also eine Verschwörung zwischen dem kinetischen Begriff, dem$J^\mu A_\mu$Begriff und die$A^2 |\phi|^2$Term, um das Ganze eicheninvariant zu machen. Das ist das Schöne an Skalar-QED.