Wie grundlegend ist die Transversalitätsbedingung in der QED?

Das Vektorpotential ist nicht eichinvariant, und es gibt viele Eichpotentiale, die demselben physikalischen elektromagnetischen Feld entsprechen. Wenn wir also das Pfadintegral nehmen

Der Weg, dies zu lösen, besteht darin, eine Messgerät-Befestigungsbedingung hinzuzufügen, sodass jede physikalische elektromagnetische Feldkonfiguration nur einmal gezählt wird. Dies geschieht beispielsweise durch Hinzufügen eines Lagrange-Multiplikators$\lambda \partial_\mu A^\mu$in kovarianter Form für die Lorenz-Eichung oder$\lambda \nabla \cdot\mathbf A$für Coulomb-Messgerät. Natürlich gibt es auch andere Möglichkeiten für andere Messgeräte.

Das Obige lässt sich auf alle Eichtheorien verallgemeinern. Die Schlüsselwörter, nach denen Sie hier suchen müssen, sind eingeschränkte Hamiltonsche Systeme und BRST-Formalismus. Hier einige Vorlesungsunterlagen am Beispiel der Elektrodynamik, die zeigen, wie man mit Eichsymmetrien umgeht.

Erste,$\mathbf{k}\cdot\mathbf{A}=0$Und$\nabla\cdot\mathbf{A}=0$sind die gleichen Bedingungen, einer im Fourier-Raum und der andere im regulären Raum.

Die Theorie an sich ist eichinvariant. Mit anderen Worten, die Gleichungen für die Potentiale, wie sie sich aus den Maxwell-Gleichungen ergeben, sind eichinvariant:

Sie können überprüfen, ob dies unveränderlich ist unter$A^\mu \to A^\mu + \partial^\mu \chi$.

Jetzt können Sie ein bestimmtes Messgerät auswählen. Das heißt, Sie legen eine Bedingung für das Potenzial fest. Wenn Sie dies tun, verlieren Sie die Eichinvarianz, aus dem einfachen Grund, dass Sie jetzt in einem bestimmten Eichmaß arbeiten. Zwei gängige Beispiele für Pegelverhältnisse sind Lorenz-Pegel ($\partial_\mu A^\mu=0$; dieses ist schön, weil es Lorentz-invariant ist) und Coulomb oder Quermessgerät:$\nabla \cdot \mathbf{A}=0$.

Du scheinst die Worte auch etwas durcheinander gebracht zu haben. Das Vektorfeld (vorausgesetzt du meinst$\mathbf{A}$oder$A^\mu$, also die Potentiale) ist nicht eichinvariant, da sich das Vektorfeld bei einer Eichtransformation genau ändert. Insbesondere,$A_\perp$ist nicht spureninvariant: Der Grund, warum es wichtig ist, ist das in Querspurweite$\mathbf{A}(\mathbf{k})$hat keine Komponente parallel zu$\mathbf{k}$(daher der Name). Eichinvariant ist das elektromagnetische Feld selbst, d.h.$F_{\mu\nu}$oder die elektrischen und magnetischen Felder, wenn Sie es vorziehen. Sie sind aus den Potentialen so konstruiert, dass sie bei einer Eichtransformation unbeeinflusst bleiben.

Und nein, irgendetwas muss nicht eichinvariant sein, damit die Theorie Sinn ergibt. Sie postulieren Ihre Gleichungen und entweder sind sie eichinvariant oder nicht. In der QFT ist es normalerweise sehr wünschenswert, dass eine Theorie auf einer Eichsymmetrie basiert (wie es das Standardmodell ist), aber es ist nicht notwendig. Die schwache Wechselwirkung, wie wir sie bei niedrigen Energien sehen, ist beispielsweise nicht eichinvariant: Die Symmetrie ist gebrochen.

Eine einfache schnelle Reaktion, die keine langen Absätze erfordert, ist, dass sich die erste Gleichung im Impulsraum befindet und die andere Gleichung dieselbe Gleichung ist, aber im Ortsraum, denke ich, ist die Bedingung streng genommen im Impulsraum$k \cdot\epsilon =0$Wo$\epsilon$ist der Polarisationsvektor.

Um Ihre Frage direkt zu beantworten, wie grundlegend ist die Transversalitätsbedingung? Notieren Sie sich das zunächst$A _{\mu}$hat 4 Freiheitsgrade, obwohl wir eigentlich 2 brauchen. Bevor wir also weitermachen, müssen wir die Anzahl der Freiheitsgrade reduzieren. Solange Sie also eine Eichtheorie verwenden (in diesem Fall eine abelsche Eichtheorie), müssen Sie zwei Bedingungen aufstellen, um die Anzahl der Freiheitsgrade zu reduzieren. Aber wenn man einen Weg findet, QED ohne Verwendung des Vier-Vektor-Potentials durchzuführen, dann hätte man vermutlich bereits die richtige Anzahl von Freiheitsgraden, was das Auferlegen von Transversalität überflüssig macht.