Messen Sie die Symmetrie eines massiven Vektorfelds

Stellen Sie sich ein echtes massives Vektorfeld mit Lagrangian-Dichte vor

L = − 1 4 ( ∂ μ A v − ∂ v A μ ) ( ∂ μ A v − ∂ v A μ ) + 1 2 M 2 A μ A μ (1) = − 1 2 ( ∂ μ A v − ∂ v A μ ) ∂ μ A v + 1 2 M 2 A μ A μ .

Unter einer lokalen Spurweitentransformation A μ ⟶ A μ + ∂ μ F Die Lagrange-Dichte ist nicht invariant

(2) L ⟶   L + 1 2 M 2 ( 2 A μ + ∂ μ F ) ∂ μ F = L − 1 2 M 2 F ( 2 ∂ μ A μ + ◻ F )

es sei denn, wir nehmen ein F das befriedigt

(3) ◻ F = − 2 ∂ μ A μ .

Bewegungsgleichungen für das Vektorfeld sind

(4) ( ◻ + M 2 ) A μ − ∂ μ ∂ v A v = 0 ,
und nimmt seine Divergenz ∂ μ wir erhalten
(5) ∂ μ A μ = 0 .

Diese Identität ist die Lorenz-Eichung, aber sie wird automatisch erfüllt. Dann ab ( 3 ) , A μ ⟶ A μ + ∂ μ F ist eine Symmetrie der Theorie solange ◻ F = 0 . Kann dies als eine Art "partielle" oder "reduzierte" Spursymmetrie angesehen werden?

Edit: Eines ist mir aufgefallen.

Mit ( 5 ) , der eom ( 4 ) wird

(6) ( ◻ + M 2 ) A μ = 0 ,
aber diese Gleichung ist unter der Transformation nicht unveränderlich A μ ⟶ A μ + ∂ μ F selbst wenn ◻ F = 0 . Warum ist diese Gleichung nicht invariant, aber die Lagrange-Dichte ist es?

Antworten (1)

  1. Symmetrien der Wirkung müssen ohne Anwendung der Bewegungsgleichungen berücksichtigt werden . Eine On-Shell-Symmetrie ist ein leerer Begriff - wenn Sie die Bewegungsgleichungen verwenden, wie Sie es tun, wenn Sie Gl. (5) um das zu schließen ◻ F = 0 eine Symmetrie sein sollte, dann wird jede infinitesimale Transformation der Aktion die Aktion invariant lassen, gerade weil die Bewegungsgleichungen einen stationären Punkt der Aktion markieren, und die Definition eines stationären Punktes mehr oder weniger darin besteht, dass alle infinitesimalen Variationen verschwinden. Siehe auch diese Antwort und die verknüpften Antworten von Qmechanic.

  2. Gerade weil Symmetrien als off-shell betrachtet werden müssen, ist Ihr eq. (3) ist widersprüchlich. Da wir von der Schale sind, A μ ist ein beliebiges Feld, das keine bestimmten Werte annimmt, sondern F muss eine feste Funktion sein. Da Gl. (3) kann nicht von der Schale für beliebige erfüllt werden A μ , gibt es keine Eichinvarianz der Wirkung eines massiven Vektorfeldes .

  3. Wie in dieser Antwort von mir besprochen , hat die Hamiltonsche Theorie des massiven Vektorfelds zwei Einschränkungen:

    π 0 ≈ 0 ∂ ich π ich + M 2 A 0 ≈ 0
    Die Poisson-Klammer dieser Einschränkungen verschwindet nicht, daher sind sie beide Einschränkungen zweiter Klasse , aber nur erstklassige Einschränkungen können möglicherweise Messtransformationen erzeugen, siehe Punkte 4. und 5. in dieser Antwort von mir . Daher ist die Theorie des massiven Vektorfeldes eingeschränkt , aber es ist keine Eichtheorie .

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